图论 —— tarjan 缩点 割点 （学习历程）

Posted 2022-12-16 rr-jin

首先，从模板题开始学起——　　　　　　　　

　　　　P3387 【模板】缩点

　　　　思路：

　　　　　　1. 这道题为什么要 缩点？（什么时候需要缩点）

　　　　　　　根据题目意思，我们只需要找出一条点权最大的路径就行了，不限制点的个数。那么考虑对于一个环上的点被选择了，一整条环是不是应该都被选择，这一定很优，能选干嘛不选。很关键的是题目还允许我们重复经过某条边或者某个点，我们就不需要考虑其他了。因此整个环实际上可以看成一个点（选了其中一个点就应该选其他的点）

——摘录自洛谷第一篇题解

　　　　　　2. 将强连通分量缩点 ->  建边成为DAG -> DPmax

　　

 1 #include<cstdio>
 2 #include<queue>
 3 #include<vector>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm> 
 6 #define N 100010
 7 #define M 500010
 8 using namespace std;
 9 
10 struct node
11     int from,to,next;
12 edge[M];
13 queue < int > q;
14 vector < int > cd[N];        //出度 
15 vector  < int > rd[N];        //入度 
16 int ans[M],t,x,y,v,rds[N],u,n,m,sum,vis[N],d[N],dis[N];
17 int dfn[N],low[N],f[N],time,cnt,k;
18 int stack[N],head[M],visit[N],tot,id;
19 
20 void add(int x,int y)        //邻接表加边 
21     edge[++cnt].next=head[x];
22     edge[cnt].from=x;
23     edge[cnt].to=y;
24     head[x]=cnt;
25 
26 
27 void tarjan(int x)
28     dfn[x]=low[x]=++time;        //更新时间
29     stack[++id]=x;        //手写栈 
30     visit[x]=1;        //入栈 
31     for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
32         if(!dfn[edge[i].to])        //没有更新到的点 
33             tarjan(edge[i].to);
34             low[x]=min(low[x],low[edge[i].to]);
35         
36         else
37             if(visit[edge[i].to])        //更新过的点 
38                 low[x]=min(low[x],dfn[edge[i].to]);
39         
40     
41     if(low[x]==dfn[x])        //注意不在 for 循环内 
42         tot++;        //强连通分量编号 (缩点的编号) 
43         while(1)
44             vis[stack[id]]=tot;        //vis记录缩点的编号 
45             dis[tot]+=d[stack[id]];        //缩点的权值=强连通分量权值累加
46             visit[stack[id]]=0,id--;        //出栈
47             if(x==stack[id+1]) break;        //这个连通块已弹完 
48         
49     
50 
51 void topo()        //拓扑排序 
52     for(int i=1;i<=tot;i++) if(rds[i]==0) q.push(i);        //入度数(rds)为 0 ,进队 
53     while(!q.empty())
54         int u=q.front();
55         q.pop();        //队头出队 
56         ans[++k]=u;        //ans记录按拓扑序排列的点 
57         for(int i=1;i<=cd[u].size();i++)        //cd[u].size(): cd[u][]的长度 
58             v=cd[u][i-1];        //因为 vector是从 0开始的,所以减 1
59             rds[v]--;        //入度数-- 
60             if(rds[v]==0) q.push(v);        //入度数(rds)为 0 ,进队
61         
62     
63 
64         
65 int main()
66 
67     scanf("%d%d",&n,&m);
68     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&d[i]);
69     for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y);
70         
71     for(int i=1;i<=n;i++)  if(!dfn[i]) tarjan(i);        // tarjan缩点 
72         
73     for(int i=1;i<=cnt;i++)        //把缩好的点 建边 ->DAG 
74         if(vis[edge[i].from]!=vis[edge[i].to])
75             x=vis[edge[i].from],y=vis[edge[i].to];        // 建 x->y 的边 
76             rds[y]++;        // y 的入度数++ 
77             rd[y].push_back(x);        // 把 x 放入 y 的入度  
78             cd[x].push_back(y);        // 把 y 放入 x 的出度  
79         
80     
81     topo();        // DAG上跑拓扑 
82     for(int i=1;i<=tot;i++)        //按照拓扑序(无后效性) 跑 DP
83         int w=ans[i];
84         f[w]=dis[w];
85         for(int j=1;j<=rd[w].size();j++)
86             f[w]=max(f[w],f[rd[w][j-1]]+dis[w]);    //因为 vector是从 0开始的,所以减 1
87     
88     
89     for(int i=1;i<=tot;i++) sum=max(f[i],sum);        //最后统计答案 
90     printf("%d",sum);
91     return 0;
92 

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 　　　　P3388 【模板】割点（割顶）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define N 100010
 4 using namespace std;
 5 struct node
 6     int next,to;
 7 edge[N*2];
 8 int n,m,dfn[N],cut[N],head[N],low[N],tot,cnt,id;
 9 
10 void add(int x,int y)
11     edge[++cnt].next=head[x];
12     edge[cnt].to=y;
13     head[x]=cnt;
14 
15 
16 void  tarjan(int x,int root)        //割点 
17     int child=0;
18     dfn[x]=low[x]=++id;
19     for(int v,i=head[x];i;i=edge[i].next)
20         v=edge[i].to;
21         if(!dfn[v])        //没有更新过的 
22             tarjan(v,root);
23             low[x]=min(low[x],low[v]);
24             if(low[v]>=dfn[x]&&x!=root) cut[x]=1;    //x不为根的割点判断条件: low[v]>=dfn[x] 
25             if(x==root) child++;        //若 x为根 
26         
27         else if(x!=root) low[x]=min(low[x],dfn[v]);
28     
29     if(child>=2&&x==root) cut[x]=1;        //x为根的割点判断条件:有2棵及以上的子树 
30 
31 int main()
32 
33     scanf("%d%d",&n,&m);
34     for(int u,v,i=1;i<=m;i++)
35         scanf("%d%d",&u,&v);
36         add(u,v),add(v,u);
37     
38     for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,i);
39     for(int i=1;i<=n;i++) if(cut[i]) tot++;
40     printf("%d\n",tot);
41     for(int i=1;i<=n;i++) if(cut[i]) printf("%d ",i);
42     return 0;
43 

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