Tarjan&割点&割边&点双&边双&缩点

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Tarjan&割点&割边&点双&边双&缩点相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

文末有福利。

Tarjan是通过搜索树和压栈完成的,维护两个东西:dfn[i](时间戳)、low[i](通过搜索树外的边i(返祖边),节点能到达的最小节点的时间戳)。

跑完Tarjan,缩点,可以得到DAG图(有向无环图),可以再建图或统计入度出度。

在有向图中,可以找强连通分量SCC(极大强联通子图)(任意两点可以互达):

多维护一个vis【i】表示在不在栈中。

 1 void tarjan_(int u)
 2 {
 3     stack[++tp]=u;
 4     dfn[u]=low[u]=++num;
 5     vis[u]=1;
 6     for(int i=head[u];i;i=ed[i].nxt)
 7     {
 8         int v=ed[i].to;
 9         if(!dfn[v])
10         {
11             tarjan_(v);
12             low[u]=min(low[u],low[v]);
13         }
14         else if(vis[v])
15         {
16             low[u]=min(low[u],dfn[v]);
17         }
18     }
19     if(dfn[u]==low[u])
20     {
21         int temp;
22         scc_num++;
23         do
24         {
25             temp=stack[tp--];
26             vis[temp]=0;
27             siz[scc_num]++;
28             co[temp]=scc_num;
29         }while(temp!=u);
30     }    
31 }

无向图中,可以找割点(在一个无向连通图中,如果有一个顶点集合,删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后,原图变成多个连通块,就称这个点集为割点集合。)、割边(也叫桥)(图G的边e是割边,当且仅当e不在G的任何一个圈上)。又可由此得出点双连通分量(v-DCC)(一个无向图中不存在割点)和边双连通分量(e-DCC)(若一个无向图中不存在割边(桥))。

简单说就是:

割点:去掉这个点,原本连通的图变得不连通。

割边:去掉这条边,原本连通的图变得不连通。

点双:不存在割点的子图。

边双:不存在割边的子图。

粘代码:

点双:

attention:

  1. 用vector存,不能像其他一样用co【i】来染色,因为因为一个割点可能在多个点双中。
  2. 割点也要放在每一个与之相连的点双中。
  3. 缩点后新图中,是割点与点双间隔排列地连接的。每一个点双中有几个割点就说明新图中该节点有几条连边。
  4. 【重中之重】判断割点的 if(low[y]>=dfn[x]) 在枚举每条边的循环中,因为一个割点可能在多个点双中。
 1 int root,cnt;
 2 bool cut[maxn];//cut【i】==1表示节点i是割点
 3 void tarjan(int x)
 4 {
 5     dfn[x]=low[x]=++cnt;
 6     stack[++tp]=x;
 7     int flag=0;
 8     for(int i=head[x];i;i=ed[i].nxt)
 9     {
10         int y=ed[i].to;
11         if(!dfn[y])
12         {
13             tarjan(y);
14             low[x]=min(low[x],low[y]);
15             if(low[y]>=dfn[x])
16             {
17                 flag++;
18                 if(root!=x||flag>1) cut[x]=true;//搜索树的跟需要特殊处理,必须有两个子树才是割点
19                 dcc_num++;
20                 int temp;
21                 do{
22                     temp=stack[tp--];
23                     dcc[dcc_num].push_back(temp);
24                 }while(temp!=y);
25                 dcc[dcc_num].push_back(x);
26             }
27         }
28         else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
29     }
30 }

主函数中:
for(int i=1;i<=n;i++) 
{ if(!dfn[i]) root=i,tarjan(i); }

 

边双:

attention:

  1. 由于是无向图,故与SCC不同,需要记录来时的点或边。
  2. 由于可能有重边的情况,记录来时的点就不行啦,就要像我一样记录来时的边(链式前向星存图时从2开始存,故每一对边的序号关系为a^1==b,b^1==a(亦或))。
  3. 与点双不同,判断要放在循环之外。
  4. 除此之外,还有另一种写法:求出割边后dfs。
 1 bool bri[maxm<<1]; 
 2 int dfn[maxn],low[maxn],stack[maxn],tp,dcc_num;
 3 int cnt,co[maxn];
 4 void tarjan(int x,int pre_ed)
 5 {
 6     dfn[x]=low[x]=++cnt;
 7     stack[++tp]=x;
 8     for(int i=head[x];i;i=ed[i].nxt)
 9     {
10         if(i==(pre_ed^1)) continue;
11         int y=ed[i].to;
12         if(!dfn[y])
13         {
14             tarjan(y,i);
15             low[x]=min(low[x],low[y]);
16         }
17         else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
18     }
19     if(low[x]==dfn[x])
20     {
21         dcc_num++;
22         int temp;
23         do{
24             temp=stack[tp--];
25             co[temp]=dcc_num;
26         }while(temp!=x);
27     }
28 }

 

福利来了:

例题(模板题)

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部分内容借鉴GMK大佬课件,表示感谢。

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tarjan,割边,桥,割点

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图论分支-Tarjan初步-割点和割边