Tarjan&割点&割边&点双&边双&缩点

Posted 2021-02-12 sdfzjdx

文末有福利。

Tarjan是通过搜索树和压栈完成的，维护两个东西：dfn[i]（时间戳）、low[i]（通过搜索树外的边i（返祖边），节点能到达的最小节点的时间戳）。

跑完Tarjan，缩点，可以得到DAG图（有向无环图），可以再建图或统计入度出度。

在有向图中，可以找强连通分量SCC（极大强联通子图）（任意两点可以互达）：

多维护一个vis【i】表示在不在栈中。

 1 void tarjan_(int u)
 2 {
 3     stack[++tp]=u;
 4     dfn[u]=low[u]=++num;
 5     vis[u]=1;
 6     for(int i=head[u];i;i=ed[i].nxt)
 7     {
 8         int v=ed[i].to;
 9         if(!dfn[v])
10         {
11             tarjan_(v);
12             low[u]=min(low[u],low[v]);
13         }
14         else if(vis[v])
15         {
16             low[u]=min(low[u],dfn[v]);
17         }
18     }
19     if(dfn[u]==low[u])
20     {
21         int temp;
22         scc_num++;
23         do
24         {
25             temp=stack[tp--];
26             vis[temp]=0;
27             siz[scc_num]++;
28             co[temp]=scc_num;
29         }while(temp!=u);
30     }    
31 }

无向图中，可以找割点（在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。）、割边（也叫桥）（图G的边e是割边，当且仅当e不在G的任何一个圈上）。又可由此得出点双连通分量（v-DCC）（一个无向图中不存在割点）和边双连通分量（e-DCC）（若一个无向图中不存在割边(桥)）。

简单说就是：

割点：去掉这个点，原本连通的图变得不连通。

割边：去掉这条边，原本连通的图变得不连通。

点双：不存在割点的子图。

边双：不存在割边的子图。

粘代码：

点双：

attention：

1. 用vector存，不能像其他一样用co【i】来染色，因为因为一个割点可能在多个点双中。
2. 割点也要放在每一个与之相连的点双中。
3. 缩点后新图中，是割点与点双间隔排列地连接的。每一个点双中有几个割点就说明新图中该节点有几条连边。
4. 【重中之重】判断割点的 if(low[y]>=dfn[x]) 在枚举每条边的循环中，因为一个割点可能在多个点双中。

 1 int root,cnt;
 2 bool cut[maxn];//cut【i】==1表示节点i是割点
 3 void tarjan(int x)
 4 {
 5     dfn[x]=low[x]=++cnt;
 6     stack[++tp]=x;
 7     int flag=0;
 8     for(int i=head[x];i;i=ed[i].nxt)
 9     {
10         int y=ed[i].to;
11         if(!dfn[y])
12         {
13             tarjan(y);
14             low[x]=min(low[x],low[y]);
15             if(low[y]>=dfn[x])
16             {
17                 flag++;
18                 if(root!=x||flag>1) cut[x]=true;//搜索树的跟需要特殊处理，必须有两个子树才是割点
19                 dcc_num++;
20                 int temp;
21                 do{
22                     temp=stack[tp--];
23                     dcc[dcc_num].push_back(temp);
24                 }while(temp!=y);
25                 dcc[dcc_num].push_back(x);
26             }
27         }
28         else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
29     }
30 }

主函数中：

for(int i=1;i<=n;i++) 
{
    if(!dfn[i]) root=i,tarjan(i);
}

 

边双：

attention:

1. 由于是无向图，故与SCC不同，需要记录来时的点或边。
2. 由于可能有重边的情况，记录来时的点就不行啦，就要像我一样记录来时的边（链式前向星存图时从2开始存，故每一对边的序号关系为a^1==b,b^1==a（亦或））。
3. 与点双不同，判断要放在循环之外。
4. 除此之外，还有另一种写法：求出割边后dfs。

 1 bool bri[maxm<<1]; 
 2 int dfn[maxn],low[maxn],stack[maxn],tp,dcc_num;
 3 int cnt,co[maxn];
 4 void tarjan(int x,int pre_ed)
 5 {
 6     dfn[x]=low[x]=++cnt;
 7     stack[++tp]=x;
 8     for(int i=head[x];i;i=ed[i].nxt)
 9     {
10         if(i==(pre_ed^1)) continue;
11         int y=ed[i].to;
12         if(!dfn[y])
13         {
14             tarjan(y,i);
15             low[x]=min(low[x],low[y]);
16         }
17         else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
18     }
19     if(low[x]==dfn[x])
20     {
21         dcc_num++;
22         int temp;
23         do{
24             temp=stack[tp--];
25             co[temp]=dcc_num;
26         }while(temp!=x);
27     }
28 }

 

福利来了：

例题（模板题）

SCC：P2863 [USACO06JAN]牛的舞会The Cow Prom    P2341 [HAOI2006]受欢迎的牛   P1726 上白泽慧音    P2746 [USACO5.3]校园网Network of Schools 

割点：P3388 【模板】割点（割顶）

点双：P3225 [HNOI2012]矿场搭建   P2783 有机化学之神偶尔会做作弊  P3469 [POI2008]BLO-Blockade

边双：P2860 [USACO06JAN]冗余路径Redundant Paths   

部分内容借鉴GMK大佬课件，表示感谢。