走廊泼水节

Posted 2022-11-15 ppxppx

AcWing

题意:给定一棵n个节点的树,要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树.求增加的边的权值总和最小是多少?\(n<=6000.\)

分析:今天才知道完全图是什么???完全图是一个简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰有一条边相连---<<百度百科>>.

那么我们还是按照\(Kruskal\)构建最小生成树的思想,把n条边按照权值从小到大排序,每次扫描到一条边,如果两端的节点,不属于一个集合,就合并两个节点所在的集合,但是我们需要在合并之前计算它们对答案的贡献.

懒得画图了,抽象地想一下,现在有两个集合X,Y,每个集合内都是一棵树(并查集的性质),然后现在两个集合只有一条边\((x,y)\)相连,现在两个集合要变成一个完全图,根据完全图的定义:"每对不同的顶点之间都恰有一条边相连",贡献就是\((size[X]*size[Y]-1)*(w[x][y]+1)\),前式表示新建的边的数量,后式是最小长度(为了保证图的最小生成树不变,权值必须要比原图的边大,又为了保证最小,所以大1就好).

所以我们并查集还要维护每个集合的\(size\).

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
    int x=0,o=1;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*o;

const int N=6005;
int fa[N],size[N];
struct ppxint x,y,z;a[N];
inline bool cmp(ppx x,ppx y)return x.z<y.z;
inline int find(int x)
    if(x==fa[x])return fa[x];
    return fa[x]=find(fa[x]);

int main()
    int T=read();
    while(T--)
        int n=read();
        for(int i=1;i<n;++i)
            a[i].x=read();a[i].y=read();a[i].z=read();
        
        for(int i=1;i<=n;++i)fa[i]=i,size[i]=1;
        sort(a+1,a+n,cmp);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<n;++i)
            int x=find(a[i].x),y=find(a[i].y);
            if(x!=y)
                ans=ans+(size[x]*size[y]-1)*(a[i].z+1);
                fa[x]=y;size[y]+=size[x];
            
        
        printf("%d\n",ans);
    
    return 0;