Codeforces Round #518 (Div. 1) Computer Game 倍增+矩阵快速幂
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Codeforces Round #518 (Div. 1) Computer Game 倍增+矩阵快速幂相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
接近于死亡的选手没有水平更博客,所以现在每五个月更一篇。
这道题呢,首先如果已经有权限升级了,那么后面肯定全部选的是 \(p_ib_i\) 最高的。
设这个值为 \(M=\max \limits_i p_ib_i\)。
主要的问题在于前面怎么选。
假设剩下的时间还有 \(t\) 秒。那么我们很容易得到一个这样的式子。
\[
dp[t+1] = \max_i \p_i \cdot (a_i+tM) + (1-p_i) \cdot dp[t]\
\]
把 \(\max\)里面的内容整理一下。
\[
dp[t+1] = dp[t] + \max_i\p_i\cdot(tM - dp[t]) + a_ip_i\
\]
如果 \(i\) 确定了,那么 \(\max\) 里面的东西就是一个关于 \(tM-dp[t]\) 的一次函数。
而把一堆一次函数取 \(max\) 显然可以通过维护这些一次函数的凸包,然后在凸包上二分 \(tM-dp[t]\) 的位置解决。
但是这样做的时间复杂度为 \(O((n+t)\log n)\)。
可巧我们有一个显然的结论就是 \(dp[t+1]-dp[t] < M\)。
那么就是说 \(tM-dp[t] < (t+1)M -dp[t+1]\)。也就是说,需要在凸包上走的东西是单调递增的。
由于凸包不超过 \(n\) 段,所以可以在每一段上做矩阵快速幂。
\[
\beginbmatrix
1-p_i & p_iM & a_ip_i\0 & 1 & 1\0 & 0 & 1
\endbmatrix
\cdot
\beginbmatrix
dp[t]\t\1
\endbmatrix
=
\beginbmatrix
dp[t+1]\t+1\1
\endbmatrix
\]
直接二分是 \(O(n(\log n + \log^2t))\) 的。可以使用倍增,\(O(n(\log n+\log t))\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) return a < b ? a = b , 1 : 0;
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) return b < a ? a = b , 1 : 0;
typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;
template<typename I>
inline void read(I &x)
int f = 0, c;
while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
x = c & 15;
while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
f ? x = -x : 0;
const int N = 1e5 + 7;
const int LOG = 36;
const double eps = 1e-13;
int n, nl;
ll t;
double M;
int a[N], b[N], q[N];
double p[N];
inline int dcmp(const double &x) return fabs(x) < eps ? 0 : (x < 0 ? -1 : 1);
struct Line
double k, b;
inline bool operator < (const Line &a) const return dcmp(k - a.k) < 0 || (dcmp(k - a.k) == 0 && b < a.b);
// inline bool operator < (const Line &a) const return b > a.b;
l[N];
inline double crs(const Line &l1, const Line &l2) return (l2.b - l1.b) / (l1.k - l2.k);
struct Matrix
double a[3][3];
inline Matrix() memset(a, 0, sizeof(a));
inline Matrix(const double &x)
memset(a, 0, sizeof(a));
a[0][0] = a[1][1] = a[2][2] = x;
inline void print()
for (int i = 0; i < 3; ++i)
for (int j = 0; j < 3; ++j)
dbg("%.13lf ", a[i][j]);
puts("");
inline Matrix operator * (const Matrix &b)
Matrix c;
c.a[0][0] = a[0][0] * b.a[0][0] + a[0][1] * b.a[1][0] + a[0][2] * b.a[2][0];
c.a[0][1] = a[0][0] * b.a[0][1] + a[0][1] * b.a[1][1] + a[0][2] * b.a[2][1];
c.a[0][2] = a[0][0] * b.a[0][2] + a[0][1] * b.a[1][2] + a[0][2] * b.a[2][2];
c.a[1][0] = a[1][0] * b.a[0][0] + a[1][1] * b.a[1][0] + a[1][2] * b.a[2][0];
c.a[1][1] = a[1][0] * b.a[0][1] + a[1][1] * b.a[1][1] + a[1][2] * b.a[2][1];
c.a[1][2] = a[1][0] * b.a[0][2] + a[1][1] * b.a[1][2] + a[1][2] * b.a[2][2];
c.a[2][0] = a[2][0] * b.a[0][0] + a[2][1] * b.a[1][0] + a[2][2] * b.a[2][0];
c.a[2][1] = a[2][0] * b.a[0][1] + a[2][1] * b.a[1][1] + a[2][2] * b.a[2][1];
c.a[2][2] = a[2][0] * b.a[0][2] + a[2][1] * b.a[1][2] + a[2][2] * b.a[2][2];
return c;
f[LOG];
inline void ycl()
for (int i = 1; i <= n; ++i) smax(M, p[i] * b[i]), l[i] = (Line) p[i], p[i] * a[i] ;
sort(l + 1, l + n + 1);
for (int i = 1; i <= n; ++i) if (dcmp(l[i].k - l[nl].k)) l[++nl] = l[i]; else l[nl] = l[i];
n = nl, nl = 1;
q[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
// if (dcmp(crs(l[q[nl]], l[i])) <= 0) continue;
while (nl > 1 && dcmp(crs(l[q[nl - 1]], l[i]) - crs(l[q[nl - 1]], l[q[nl]])) <= 0) --nl;
q[++nl] = i;
for (int i = 1; i <= nl; ++i) l[i] = l[q[i]];//, dbg("Line : %.13lf %.13lf\n", l[i].k, l[i].b);
n = nl;
// for (int i = 1; i <= n; ++i) dbg("Line : %.13lf %.13lf\n", l[i].k, l[i].b);
// dbg("%.13lf %.13lf\n", crs(l[1], l[4]), crs(l[1], l[3]));
inline void work()
ycl();
double dp = 0;
ll tt = 0;
for (int i = 1; i <= n && tt < t; ++i)
double stp;
if (i < n) stp = crs(l[i], l[i + 1]);
else stp = 1e20;
if (tt < t && dcmp(tt * M - dp - stp) >= 0) continue;
Matrix A, B;
A.a[0][0] = dp, A.a[1][0] = tt, A.a[2][0] = 1;
B.a[0][0] = 1 - l[i].k, B.a[0][1] = l[i].k * M, B.a[0][2] = l[i].b;
B.a[1][1] = 1, B.a[1][2] = 1;
B.a[2][2] = 1;
f[0] = B;
for (int i = 1; i < LOG; ++i) f[i] = f[i - 1] * f[i - 1];
for (int i = LOG - 1; ~i; --i) if (tt + (1ll << i) < t)
Matrix C = f[i] * A;
// if (i == 1) C.print();
if (dcmp(C.a[1][0] * M - C.a[0][0] - stp) < 0) A = C, tt += 1ll << i;
A = f[0] * A, ++tt;
dp = A.a[0][0];
printf("%.13lf\n", dp);
inline void init()
read(n), read(t);
for (int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]), read(b[i]), scanf("%lf", &p[i]);
int main()
#ifdef hzhkk
freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
init();
work();
fclose(stdin), fclose(stdout);
return 0;
以上是关于Codeforces Round #518 (Div. 1) Computer Game 倍增+矩阵快速幂的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
Codeforces Round #518 (Div. 2) D(计数DP)
Codeforces Round #518 (Div. 1) Computer Game 倍增+矩阵快速幂
Codeforces Round #436 E. Fire(背包dp+输出路径)
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