凸优化1 基本概念

Posted 2022-08-29 shenhaojing

前言

本文主要记录在凸优化中几个比较基础的概念：凸集、仿射集、凸包、锥、锥包。

仿射集（affine sets）

回顾一下直线与线段的定义。
对于

\\[x_1 \\not = x_2 \\in R^n, \\theta \\in R\\]

则直线可以表示为：
\\[y = \\theta x_1 + (1-\\theta)x_2\\]
类似的，对\\(\\theta\\)加一点限制，就可以导出线段的定义：
\\[y = \\theta x_1 + (1-\\theta)x_2, \\theta \\in R, \\theta \\in [0,1]\\]

有了直线的概念后，下面定义仿射集：

• 仿射集：一个集合\\(C\\)是仿射集，若\\(\\forall x_1,x_2 \\in C\\)，则连接\\(x_1\\)与\\(x_2\\)的直线也在集合内。

用数学的语言来描述的话就是：

• 仿射集：设\\(x_1, ..., x_k \\in C, \\theta_1, ..., \\theta_k \\in R, \\theta_1 + ... + \\theta_k = 1\\)，如果集合\\(C\\)是仿射集，当且仅当\\(\\theta_1 x_1 + ... + \\theta_k x_k \\in C\\)

我们把 \\(\\theta_1 x_1 + ... + \\theta_k x_k\\)叫做仿射组合。

与C相关的子空间

下面讲一下仿射集的一些性质。根据上面的定义，若\\(x_1, x_2 \\in C\\), \\(C\\)是仿射集，则\\(\\theta x_1 + (1-\\theta) x_2 \\in C\\)，其中\\(\\theta \\in R\\)。那么问，\\(\\alpha x_1 + \\beta x_2\\)是否属于\\(C\\)呢？

如下图所示，当直线不经过原点时，显然\\(\\alpha x_1 + \\beta x_2 \\not \\in C\\)，当直线经过原点时，就有\\(\\alpha x_1 + \\beta x_2 \\in C\\)。

我们定义：\\(V = C - v_0 = \\x-x_0|x \\in C\\, \\forall x_0 \\in C\\)
称\\(V\\)为与\\(C\\)相关的子空间。我们可以理解成\\(V\\)是\\(C\\)平移\\(v_0\\)得到的一个字空间。

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证：
\\[\\forall v_1, v_2 \\in C, \\forall \\alpha, \\beta \\in R\\]
因为\\(v_1 + v_0 \\in C, v_2 + x_0 \\in C, x_0 \\in C\\)， 所以：
\\[\\alpha (v_1+x_0) + \\beta (v_2+x_0) + (1-\\alpha - \\beta) x_0 \\in C\\]
即
\\[\\alpha v_1 + \\beta v_2 + x_0 \\in C\\]
此时就有：
\\[\\alpha v_1 + \\beta v_2 \\in V\\]

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一个例子

• 线性方程组的解集是仿射集
  \\[C = \\x|AX=b\\, A \\in R^m \\times n, b \\in R^m, x \\in R^n\\]

与\\(C\\)相关的子空间\\(V=\\x - x_0| x \\in C\\, \\forall x_0 \\in C\\) 恰好也是矩阵\\(A\\)的零空间。

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仿射包

对于任意一个集合\\(C\\)，是否可以构造出其最小的仿射集。如果可以，这个最小的仿射集就叫做仿射包。

• 仿射包：\\(aff\\ C = \\\\theta_1 x_1 + ... + \\theta_k x_k | \\forall x_1,...,x_k \\in C, \\theta_1+\\theta_2+...+\\theta_k = 1\\\\)

• 仿射集的仿射包就是它本身。

凸集 Convex Set

• 一个集合是凸集，即当任意两点之间的线段任然在\\(C\\)内
• 用数学表达的话就是：\\(\\forall x_1, x_2 \\in C, \\forall \\theta, \\theta \\in [0,1], \\theta x_1 + (1-\\theta) x_2 \\in C\\)

\\(x_1, ..., x_k\\)的凸组合

\\(x_1, ..., x_k\\)的凸组合表示为：

\\[\\theta_1 x_1 + \\theta_2 x_2 + ... + \\theta_k x_k \\in C\\]
\\[\\theta_1, ... ,\\theta_k \\in R, \\theta_1+...+\\theta_k = 1\\]
\\[ \\theta_1,...,\\theta_k \\in [0,1]\\]

• \\(C\\)为凸集等价于任意\\(C\\)的凸组合也在\\(C\\)内。

凸包

对任意集合\\(C \\in R^n\\)，它的凸包记作：
\\[Cov C = \\\\theta_1 x_1 + ..., + \\theta_k x_k | \\forall x1, ..., x_k \\in C, \\forall \\theta_1,...\\theta_k \\in [0,1], \\theta_1+...+\\theta_k=1\\\\]

锥 Cone 和 凸锥 Convex Cone

• \\(C\\)是锥等价于 \\(\\forall x \\in C, \\theta > 0\\)，有\\(\\theta x \\in C\\)
• \\(C\\)是凸锥等价于 \\(\\forall x_1, x_2 \\in C, \\theta_1, \\theta_2 \\geq 0\\)，有\\(\\theta_1 x_1 + \\theta_2 x_2 \\in C\\)

凸锥的组合

\\[\\theta_1 x_1 + ... + \\theta_k x_k, \\theta_1,...,\\theta_k \\geq 0\\]

凸锥包

\\[x_1,...,x_k \\in C, \\\\theta_1 x_1 + ... + \\theta_k x_k | x_1,...,x_k \\in C, \\theta_1,...,\\theta_k \\geq 0\\\\]

总结

• 仿射组合
  \\[\\forall \\theta_1, ..., \\theta_k, \\theta_1+...+\\theta_k = 1\\]

• 凸组合
  \\[\\theta_1,...,\\theta_k, \\theta_1 + ...+\\theta_k = 1, \\theta_1,...,\\theta_k \\in [0,1]\\]

• 凸锥组合
  \\[\\forall \\theta_1,...\\theta_k, \\theta_1,...,\\theta_k \\geq 0\\]

• 任意一个仿射集，它一定是凸的。
• 凸锥也一定是凸的。
• 如果集合只有一个元素：\\(C=x\\)，该集合也是一个仿射集。若这个点是原点，即\\(x=0\\)，那么它还是凸锥。

• 空集也是仿射集，同时还是凸集和凸锥。