基本概念介绍

Posted 2022-06-16 大饼博士X

文章目录

• 引言
• 第1章 Introduction
• • 凸优化问题
  • 最小二乘问题
  • 线性规划问题
  • 一个优化问题例子：最佳灯源问题
  • Chebyshev逼近问题，转化成线性规划
• 参考资料

2020年我自己希望多看一些基础的理论知识，包括优化理论、微分方程等，重点先从Convex optimization开始看吧。另外，还会多写一些应用算法的基本知识，比如一些经典计算机视觉知识，以及一些新的NLP网络的概念知识。平时时间有限，加油吧！

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引言

本系列是学习入门级convex optimization理论做的一些笔记，如果是大神请跳过和无视！主要参考的资料有：

1、非常经典的《Convex Optimization》，Stephen Boyd：其实这本书对我来说有点厚，本身做工程项目研发，太理论的知识用不上。学习这本书的主要目的是理解一下凸优化的基本概念，方便在读一些Paper的时候可以基本看懂理论部分在讲什么。我先计划学前面5章，有一个大概的了解就行。有一个课程：ECE236B - Convex Optimization (Winter Quarter 2019-20)，课件基本上就是上面的书的课件，没什么差别，可以按照顺序去了解一些概念。

2、ECE236C - Optimization Methods for Large-Scale Systems (Spring 2019)：上面课程的进阶版，可以查阅用，需要看什么技术点的时候查一下。

3、Convex Optimization: Fall 2019：Instructor: Ryan Tibshirani：主要看这个课程，也是这个系列的主要资料。个人感觉很好的一个课程。

4、Introductory Lectures on Convex Programming Volume I: Basic course，Yu. Nesterov：这个是一个优化的大牛写的经典材料，对我现在还用不上。推荐有理论功底的同学啃这本书。

在每一个章节开头，我会给出主要的参考资料来源。我写的顺序按我自己看的顺序写，不一定按照书来。

第1章 Introduction

本章节主要参考Boyd书课件的第一章，也就是ECE236B课程的第一章课件。课件内容是截图，我就不重新打了，下面都有文字描述理解。给一个基本的概念，有些不求甚解也问题不大（包括我哈~）。

优化问题的数学定义：$f_0$是目标函数，$f_i$是不等式约束函数，如果对任意满足约束的向量$z$，有$f_0(z)\ge f_0(x^{\ast })$，那么称$x^{\ast }$为优化问题的最优解。

非作者注：general optimization problem是很难求解的，特别是非凸，以及带约束的优化问题求解，都是比较复杂的。我们现在常用的神经网络优化求解，大部分是无约束的非凸优化，即使一些有约束的问题，往往也是做一些放松，然后加到loss function里面去，看成一个整体function来求解。

凸优化问题

本书主要介绍凸优化问题，定义是：对于目标函数以及约束函数都是convex的优化问题，称为convex optimization问题。

本节简单介绍两个非常常用的凸优化例子：最小二乘问题和现行规划问题。

最小二乘问题

基本最小二乘问题特点是：没有约束条件（$m=0$），目标函数是若干项的平方和，每一项的形式是$a_i^{T}x-b_i$，写成矩阵形式：

这个就是基础线性回归模型，一般写成$b=Ax$，最小化目标是就是（求解是最基础的，E对x求导=0，得到x*）：
$$\begin{gathered} \underset{x}{\min }E=||b-Ax|{|}^2 \\ {x}^{\ast }=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}y \end{gathered}$$

还有加权最小二乘问题，我们最小化加权的误差值：
$$\sum _{i=1}^k{w}_i(a_i^{T}x-b_i{)}^2$$
其中，加权系数$w_i$均大于零，表示每一个子项的重要程度，在统计应用中，当给定的现行观测值包含不同方差的噪声时，我们用加权最小二乘来估计向量x。

在线性回归模型上加上一个变量的L2-norm，是一种常见的正则化技术：可以避免x的数值过大，过大时惩罚项会较大。最小化：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^k(a_i^{T}x-b_i{)}^2+\rho \sum _{i=1}^n{x}_i^2 \\ {x}^{\ast }=(A^{T}A+\rho I_{n\times n}{)}^{-1}{A}^{T}y \end{gathered}$$

其中$\rho >0$。

线性规划问题

虽然线性规划问题一般没有解析解（也有叫做闭合解，closed form），却存在很多有效的求解方法，包括Dantzing的单纯形法以及内点法，（非作者注：这些都是很经典的优化方法，平时我也很难用到，先mark一下，后面有需要的时候找资料看，本CVX书后面算法部分重点介绍了内点法，似乎作者Stephen Boyd特别看重内点法）。

一个优化问题例子：最佳灯源问题

有m盏灯，要照亮n个板子，每一块板子的光照强度公式如下，是所有灯功率的一个加权和。

问题：在灯的功率限制范围内，达到给定光照强度$I_{des}$，给出最接近的功率方案。

这个目标函数挺有意思，先max，后min——意思是说首先对每一个板子k都检查一下光照强度，是否偏离目标$I_{des}$，偏离程度中最大的那一项，我们要最小化它的值，所以相当于我们要求每一个板子k的光照强度都尽可能地和目标$I_{des}$接近。怎么解这个优化问题呢？

方法有很多，最后5是构造了一个凸优化问题，有了这个形式以后就可以用一些成熟的凸优化方法来求解，本章节不介绍。

非作者注：很多问题如何构造成一个凸优化问题往往是最难的，如果能构造出来，那么基本上就是认为可以比较容易求解了。

Chebyshev逼近问题，转化成线性规划

再给一个例子：


其实和上面点灯的例子很像，但又不完全一样。原始min-max问题可以认为是让现行回归的值$a_i^{T}x$和$b_i$尽可能接近，因此引入一个误差的bound t，限制条件很容看到可以转化为
$$\begin{gathered} -t\le a_i^{T}x-b_i\le t \\ |a_i^{T}x-b_i|\le t \end{gathered}$$
虽然$t\in R$，但实际上我们可以看到$t\ge 0$，否则上面限制条件就不成立了。因此$t$和$-t$可以看成是$a_i^{T}x-b_i$的一个对称的上下界，我们最小化这个界，就是让值$a_i^{T}x$和$b_i$尽可能接近，因此（1.6）和（1.7）是等价的。

第一章就是简单介绍，主要是一些概念，就讲到这里。下次是第二章。

参考资料

[1] Convex Optimization, Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe
[2] ECE236B - Convex Optimization (Winter Quarter 2019-20)
[3] ECE236C - Optimization Methods for Large-Scale Systems (Spring 2019)