LightOJ1341 Aladdin and the Flying Carpet 约数相关问题

Posted 2022-08-28 danzh

LightOJ1341 Aladdin and the Flying Carpet

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• 约数相关问题

前言

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简明题意

• 给定n,b，求n的>=b的约数的对数。（n<=1e12）

思路

• n的约数对数=\\(d(n)/2\\)，这个应该是很显然的。如果n是完全平方数那么这个式子不对，但是题目说了只用找矩形而不用找正方形，因此不需要考虑n是完全平方数的情况。
• n的约数对数求出来了，但是题目要求>=b的约数对数，怎么搞呢？这里我也想了半天没想明白
• 很多人说直接算\\(d(n)\\)，再暴力算出n的<b的因子数。我想，题目给的数据是b<=1e12，这暴力枚举b就没了呀。然而我还是too native了，显然，如果b>sqrt(n)，那么答案就是0，因此，b实际上最大是\\(\\sqrtn=10^6\\) ,暴力枚举并不会超时。
• 但是仍然会T。这里需要两个小优化：
  1. 提前把质数筛出来，质因数分解时直接用筛出来的质数去分解
  2. 质因数分解那里，当n=1时，要直接跳出循环。这个优化加上可以快3000ms（震惊，怎么会快这么多嘛）

注意事项

• 不要判断b*b<=n而应该判断b<=\\(\\sqrt n\\)。因为会溢出...

总结

• 我还是too native了

AC代码

#include<cstdio>
#include<cmath>

const int maxn = 1e6 + 10;

bool no_prime[maxn];
int prime[maxn];
int shai(int n)

    int cnt = 0;
    
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    
        if (!no_prime[i])
            prime[++cnt] = i;

        for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++)
        
            no_prime[prime[j] * i] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        
    
    return cnt;


void solve()

    int cnt = shai(maxn - 1);

    int t;
    scanf("%d", &t);
    for (int i = 1; i <= t; i++)
    
        long long n, r;
        int b;
        scanf("%lld%d", &n, &b);
        if (b > sqrt(n))
        
            printf("Case %d: 0\\n", i);
            continue;
        
        r = n;

        bool tag = 0;
        long long ans = 1;
        for (int i = 1; i <= cnt && 1ll * prime[i] * prime[i] <= r && n != 1; i++)
        
            int p = prime[i];
            int cnt = 0;
            while (n % p == 0)
                n /= p, cnt++;
            ans *= (cnt + 1);

            if (n <= 1e6 && !no_prime[n])
            
                tag = 1;
                ans *= 2;
                break;
            
        
        if (n != 1 && !tag)
            ans *= 2;
        ans /= 2;

        for (int i = 1; i < b; i++)
            if (r % i == 0) ans--;

        printf("Case %d: %lld\\n", i, ans);
    


int main()

    freopen("Testin.txt", "r", stdin);
    freopen("Testout.txt", "w", stdout);
    solve();
    return 0;