P3885方程的解（较详细）

Posted 2022-08-18 snowysniper

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1771

想要更多磨练的，这里https://gmoj.net/senior/#main/show/1344

区别在内存空间的限制上。

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Description

　　佳佳碰到了一个难题，请你来帮忙解决。 　　对于不定方程a1+a2+……+ak-1+ak=g(x)，其中k>=2且k∈N*，x是正整数，g(x)=x^x mod 1000（即xx除以1000的余数），x，k是给定的数。我们要求的是这个不定方程的正整数解组数。 　　举例来说，当k=3,x=2时，分别为(a1,a2,a3)=(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2).

 

Input

　　输入文件有且只有一行，为用空格隔开的两个正整数，依次为k，x。

Output

　　输出文件有且只有一行，为方程的正整数解组数。

 

Sample Input

3 2

Sample Output

3

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首先，观察这道题。

1. 这是一道数学题。（废话
2. x给的范围很大，考虑用到快速幂，然后要求分解的那个数（以下统称n）最大就是1000。
3. 去掉x大小的限制之后，发现题目剩余的部分是一种模板：给出n，要求分为k份，求分法。就是标准的组合数。
4. 再次考虑数据范围，分法大概是:[6*S*k/(x^3)]+(6*S)/(x^2)种，其中S=2^(n-1),x=n+1.（似乎哪里有问题但总之这个很大就对了），发现要用高精度

观察结束。

实现：组合数学（递推），快速幂，高精加。

　　公式：C(k,x^x%1000)

　　递推式应该比较容易想到：假设目前要分解 n ，把它分解成 m 份。现在先把 n 分成 1 和 n-1，答案加上：（分解 n-1 时的分法数）*（分解1时的分法数）。然后把 n 分成 2 和 n-2，答案加上（分解 n-2 时的分法数）* （分解2时的分法数）以此类推。注意这里分解成n-1和1与分解成n-2和2是两种情况，都要加上。其实应该就是隔板法的思想。

　　到了实现的步骤。首先要用快速幂处理 x 得到要分解的数 n ，然后递推：把1分成1份，把2分成1、2份，把3分成1、2、3份分别是多少种分法，用高精存起来。具体用dt[i][j]表示把i分成j份能有几种分法。顺带一提，杨辉三角拿邻接矩阵存起来，第i行第j个数就是把i分解成j份的分法，因为杨辉三角也有递推的性质。

　　这里放两个版本的代码，第一个方便理解一些；第二个加上了高精，还算了一下：要是用邻接矩阵会有8万多kb，因为纪中OJ这道题的空间限制 65536KB （不像洛谷给了125兆），所以加上了滚动数组。（当然65536KB的空间只能卡掉邻接矩阵，闲的没事用邻接表、压位高精之类也是可以的w）

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std; 
ll x;
int n,k,maxn;
ll dt[1100][110];//把i分成j组的情况数 （杨辉三角 

int ksm(int a,ll b,int mo)

    int ret=1;
    while(b)
    
        if(b&1)ret=ret*a%mo;
        a=a*a%mo;
        b>>=1;
    
    return ret;


int main()
    cin>>k>>x;
    int n=x%1000;//求n的x次方%1000
    n=ksm(n,x,1000);//求n分成k组的组合数 (n<=1000)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        dt[i][1]=1;
        if(i<=k)
        dt[i][i]=1;
    
    
    for(int i=3;i<=n;i++)//画个杨辉三角就知道为什么从3开始。。 
    
        for(int j=2;j<=i&&j<=k;j++)//将i分成j组 
        
            dt[i][j]=dt[i-1][j-1]+dt[i-1][j];
        
    

    cout<<dt[n][k];

和：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define Lovelive long long
using namespace std; 
Lovelive x;
int n,k,maxn;
char dt[2][101][400];
int al[400],bl[400],cl[400];
int first;

int ksm(int a,Lovelive b,int mo)

    int ret=1;
    while(b)
    
        if(b&1)ret=ret*a%mo;
        a=a*a%mo;
        b>>=1;
    
    return ret;

int main()
    cin>>k>>x;
    int xx=x%1000;//求xx的x次方%1000
    n=ksm(xx,x,1000);//求n分成k组的组合数 (n<=1000)
    
    dt[0][1][0]=‘1‘;
    dt[0][2][0]=‘1‘;
    
    for(int i=3;i<=n;i++)
    
        for(int j=2;j<i&&j<=k;j++)//将i分成j组 
        
            dt[1-first][1][0]=‘1‘;//以下是高精操作 ，大意是把两个大数加起来（废话 
            
            memset(al,0,sizeof(al));
            memset(bl,0,sizeof(bl));
            memset(cl,0,sizeof(cl));
            //dt[i-1][j-1],dt[i-1][j];
            
            int lena=strlen(dt[first][j-1]);
            int lenb=strlen(dt[first][j]);
    
            for(int l=1;l<=lena;l++)
            al[l]=dt[first][j-1][lena-l]-‘0‘;
            for(int l=1;l<=lenb;l++)
            bl[l]=dt[first][j][lenb-l]-‘0‘;
                
            int lenc=1,yu=0;
            while(lenc<=lena||lenc<=lenb)
            
                cl[lenc]=al[lenc]+bl[lenc]+yu;
                yu=cl[lenc]/10;
                cl[lenc]%=10;
                lenc++;
            
            cl[lenc]+=yu; 
            if(cl[lenc]==0)lenc--;
                
            int flag=0;
            while(lenc)
            
                dt[1-first][j][flag]=cl[lenc]+‘0‘;
                lenc--;
                flag++;
            
        
        first=1-first;
        
        if(i<=k)
        dt[first][i][0]=‘1‘;

    
    cout<<dt[first][k];

 补充纪中OJ上的得分情况：20分是乱搞到的，40分是有策略无高精，60与AC的差距在有没有优化空间