扩展欧几里得算法的思想与推导

Posted 2022-08-16 ssfzmfy

偶然看到大神Katoumegumi的欧几里得推导过程，感觉非常接地气。借此收藏。

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对于一个方程a∗x+b∗y=gcd(a,b)

来说,我们可以做如下的推导:

设有a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)

;

同时我们有b∗x2+(a%b)∗y2=gcd(b,a%b)

;

对于这个方程组,我们希望知道的是x1,x2,y1,y2

之间的关系,这样我们才可以递归解决这个问题

我们观察b∗x2+(a%b)∗y2

这个式子,我们可以将(a%b)

写作(a−⌊ab⌋∗b)

,将括号打开常数a,b

合并,合并之后的结果为a∗y2+b∗(x2−⌊ab⌋∗y2))

 

由于欧几里得算法的原理gcd(a,b)==gcd(b,a%b)

,我们将两式子联立,对比系数即可得到x1=y2,y1=x2−⌊ab⌋∗y2

 

这个递归的边界是什么呢?我们知道,当朴素欧几里得到达边界时,return gcd(a,0)=a

,那么边界条件就是对a∗x0+b∗y0=a

求解,很显然,此时x0=1,y0=0

 

当我们递归求出了一个方程的特解时,如何求出这个方程的通解呢?

方程a∗x+b∗y=gcd(a,b)

中,如果将x加上一个常数k1,y

减去一个常数k2

,仍然保持原方程成立,那么x+k1,y−k2

就是方程的一个新解,这个k应该如何选择呢?

实际上很简单,a∗(x+k1)+b∗(y+k2)=gcd(a,b)

,打开括号,a∗x+a∗k1+b∗y−b∗k2=gcd(a,b)

;

我们保证原方程成立,就需要a∗k1==b∗k2

,那么显然k1=b,k2=a

是一种合理的情况,但是这样是无法包含所有整数解的,因为我们加上的这个值并非是最小值

那我们应该加上什么值才行呢?我们发现当a∗k1==b∗k2=t∗lcm(a,b)

可以保证得到所有解,于是每次寻找解就可以分别在x

加上bgcd(a,b),在y减去agcd(a,b)

就可以了

对于方程a∗x+b∗y=c

我们又该如何求解?我们发现如果(c%gcd(a,b)!=0)

那么这个方程是无解的,而如果gcd(a,b)∗t==c

,我们就可以按上面的方法求解之后对我们的解乘上一个t(t=cgcd(a,b))

 

int exgcd(int a,int b,int &x1,int &y1)

    if(!b)
    
        x1=1,y1=0;
        return a;
    
    int x2,y2;
    int d=exgcd(b,a%b,x2,y2);
    x1=y2,y1=x2-(a/b)*y2;
    return d;

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