扩展欧几里德算法及其应用

Posted 2020-08-14

　　接着欧几里德算法往后写，扩展欧几里德算法常常用来解不定方程及一些相关的应用，用到的思想就是欧几里德算法的思想：通过在结果不改变的情况下不断取余而逐步缩小数据规模，两个数会不断变小，直到减小到一个数是另一个数的倍数的时候，就很容易求出他们的最小公倍数了。下面我们来说说扩展欧几里德的思想：

　　我们要求出 a * x + b * y = c 的所有解，其中 a,b,c 是已经告诉你的常数，而 x,y 是待求的未知量，我们要求出所有的 x,y ，其实只要求出一组 x0,y0就行了，剩下的解可以由 x=x0+k*(b*gcd(a,b)/a) , y=y0+k*(a*gcd(a,b)/b)求出，其中 k 为任意整数。

　　而怎么求出一组 a * x + b * y = c 的解呢？首先判断是否有解的条件是 c%gcd(a,b) 是否等于 0。也就是说 c一定要是 a,b 的最大公约数的整数倍才有解，否则就没有整数解，这个只要自习想一想就可以理解，所以，我们只要求出  a * x + b * y =  gcd(a,b) 的一组解最后再乘以 c/gcd(a,b) 就好了。接下来我们说怎么求  a * x + b * y =  gcd(a,b)的解。

　　到了重头戏，求 a * x + b * y =  gcd(a,b)的解，按照本文开头提到的想法，不断缩小数据规模，首先，在前面证明欧几里得算法的时候我们证明了 gcd(a,b)=gcd(a,a%b)，现在我们提出另一个一个方程 b * x1 +a%b * y1 = gcd( b,a%b) ，这里的 a,b,x,y  还是上一个方程的 a,b,x,y ，但是可以看出，这个方程的系数比上一个方程小了，所以只要我们得到这个方程和原方程是解的关系，我们就可以利用这个方程化简数据规模，从而递归地求出方程的解。于是联立两个方程我们得到了 ： x= y1; y=x1-a/b*y1；所以我们只要按照这个方法把x1,y1当成新的x,y再次递归下去就可以求出解。当然我们还要说一下递归的终止条件就是 有一个系数为0，这样就可以求出一组目前方程的确定的 x,y了（不是最终解），当然因为a始终大于b所以肯定是b先为0，这样就得到了退出递归的条件。最终得到的x,y就是a * x + b * y =  gcd(a,b)的一组解了。

　　代码实现，C++，递归实现，这个是一开始写的，比较容易理解，但是常数大了一些：

 1 void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2   {
 3       if(b==0)
 4      {
 5         x=1;
 6         y=0;
 7         return ;
 8     }
 9     Exgcd(b,a%b,x,y);
10     int t=x;
11     x=y;
12     y=t-a/b*y;
13     return ;
14  }

　　后来在网上看到了另一种写法，这种写法比较好写，常数也小，推荐：

1 void Exgcd(int a,int b,int&x,int&y)     
2 {
3      if(!b) { x=1,y=0;    return ;}
4      Exgcd(b,a%b,y,x);
5      y-=a/b*x;
6 }

 　　另外还有非递归的版本，因为写起来太麻烦，也没有递归版本效率高，所以就不写了-_-

　　因为上面只是一个裸的函数，是在确定有解的情况下调用的（事实上不管有没有解调用函数后都会返回一组解），而且返回的解也不是最终解，所以我们还可以加一个判断函数来判断是否有解，并将返回的解转化为最终解：

 1 int gcd(int a,int b) {return b?  gcd(b,a%b):a;}
 2 bool check_exgcd(int a,int b,int c,int &x,int &y)
 3 {
 4     int k=gcd(a,b);
 5     if(c%k)
 6         return false;
 7     Exgcd(a,b,x,y);
 8     k=c/k;
 9     x*=k; y*=k;
10     return true;
11 }