二次剩余定理及Cipolla算法入门到自闭

Posted 2022-08-13 aamir-dan

二次剩余定义：

在维基百科中，是这样说的：如果q等于一个数的平方模 n，则q为模 n 意义下的二次剩余。例如：x²≡n(mod p)。否则，则q为模n意义下的二次非剩余。

Cipolla算法：一个解决二次剩余强有力的工具，用来求得上式的x的一个算法。

需要学习的数论及数学基础：勒让德符号、欧拉判别准则和复数运算。

勒让德符号：判断n是否为p的二次剩余，p为奇质数。 

欧拉定理为x^φ(p)≡1(mod p)

当p为素数时，可知φ(p)=p-1，转化为x^p-1≡1(mod p)

开根号后为 x^(p−1)/2≡±1(mod p)，如果等于1就肯定开的了方，为-1一定开不了。所以x是否为n的二次剩余就用这个欧拉判别准则。

qpow(n,(mod-1)>>1)==mod-1

随机找数a,使得a²−n为复数的虚数单位的平方，即

随机一个数a，然后对a²−n进行开方操作（就是计算他勒让德符号的值），直到他们的勒让德符号为-1为止（就是开不了方为止）。 就是找到一个a满足(a²−n)^(p−1)/2=−1。

    LL a=1;
    while(qpow((a*a-n+mod)%mod,(mod-1)>>1)!=mod-1)  a=rand()%mod;

建立复数乘法运算（(a+bi)(c+di)=(ac+bd*(-1))+(bc+ad)i）

建立一个类似的域，前面寻找了一个a使(a²−n)^(p−1)/2=−1，所以我们定义ω=√(a2−n)。那么现在的ω也像i一样，满足ω²=a²−n=-1

node two(node a,node b)//复数相乘

    node ans;
    ans.x=(a.x*b.x%mod+a.y*b.y%mod*w%mod)%mod;
    ans.y=(a.x*b.y%mod+a.y*b.x%mod)%mod;
    return ans;

答案=(a+ω)^(p+1)/2

根据拉格朗日定理，可以得出虚数处的系数一定为0。

 

 1 node q_pow(node a,LL b)
 2     node res;
 3     res.x=1,res.y=0;
 4     while(b)
 5         if(b&1)res=two(res,a);
 6         a=two(a,a);
 7         b>>=1;
 8     
 9     return res;
10 

1     node p;
2     p.x=a,p.y=1,w=(a*a-n+mod)%mod;
3     node ans=q_pow(p,(mod+1)>>1);
4     return ans.x;

2019牛客多校训练营第九场B题为Cipolla算法模板题

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define LL long long
 3 using namespace std;
 4 const LL mod=1e9+7;
 5 struct node
 6 
 7     LL x,y;
 8 ;
 9 LL w;
10 node two(node a,node b)//复数相乘
11 
12     node ans;
13     ans.x=(a.x*b.x%mod+a.y*b.y%mod*w%mod)%mod;
14     ans.y=(a.x*b.y%mod+a.y*b.x%mod)%mod;
15     return ans;
16 
17 node q_pow(node a,LL b)
18 
19     node res;
20     res.x=1,res.y=0;
21     while(b)
22     
23         if(b&1)
24             res=two(res,a);
25         a=two(a,a);
26         b>>=1;
27     
28     return res;
29 
30 LL qpow(LL a,LL b)
31 
32     LL ans=1;
33     a%=mod;
34     while(b)
35     
36         if(b&1)
37             ans=ans*a%mod;
38         a=a*a%mod,b>>=1;
39     
40     return ans;
41 
42 LL solve(LL n)
43 
44     if(qpow(n,(mod-1)>>1)==mod-1)//勒让德符号
45         return -1;
46     else if(n==0)
47         return 0;
48     LL a=1;//找随机a
49     while(qpow((a*a-n+mod)%mod,(mod-1)>>1)!=mod-1)//勒让德符号
50         a=rand()%mod;
51     node p;
52     p.x=a,p.y=1,w=(a*a-n+mod)%mod;
53     node ans=q_pow(p,(mod+1)>>1);//求出答案
54     return ans.x;
55 
56 int main()
57 
58     int T;
59     scanf("%d",&T);
60     LL q,b,n,x,y,c,t=qpow(2,mod-2);
61     while(T--)
62     
63         scanf("%lld%lld",&b,&c);
64         q=(b*b-4*c+mod)%mod;
65         n=solve(q);
66         if(n==-1)
67         
68             printf("-1 -1\\n");
69             continue;
70         
71         x=((b+n)%mod)*t%mod,y=(b-x+mod)%mod;
72         if(x>y)
73             swap(x,y);
74         printf("%lld %lld\\n",x,y);
75     
76     return 0;
77