二次剩余&&Cipolla

Posted 2021-02-08 dsrdsr

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• 二次剩余
• 勒让德符号(legendre symbol)
• Cipolla‘s Algorithm.
• 代码
• end

二次剩余

给定y和奇质数p，求x，使得(x^2≡y(mod p))

勒让德符号(legendre symbol)

以前看视频的截图
求解(x^2equiv a(mod p))时，我们可用勒让德符号来判定他是否有解
（前提，p必须为奇素数）
(egin{pmatrix} frac{a}{p} end{pmatrix}=egin{cases}0 (aequiv 0(mod p))\1(a\%p意义下是二次剩余)\-1(a\%p意义下是二次非剩余)end{cases})
有时为了印刷上的方便，会写成((a|p))
0认为是特殊情况，这里不过分讨论

这里只说明第ii条，因为其他的都很显然(或者看完ii条之后)，iii说明只他是个完全积性函数

公式((a|p)=a^{frac{p-1}{2}}(mod p))

也许还可以叫欧拉判别法
首先证明(a^{frac{p-1}{2}}(mod p)=1或-1)
(a^{p-1}-1=(a^{frac{p-1}{2}}+1)(a^{frac{p-1}{2}}-1)equiv 0 (mod p))
显然，(a^{frac{p-1}{2}}(mod p)只有=1或-1)时，才可能成立

a为%p意义下的二次剩余时(a^{frac{p-1}{2}}equiv 1(mod p))
(x^{2}equiv a(mod p))也可以说为(xequiv a^{frac{1}{2}}equiv x^{p-1}(mod p))
而费马小定理又可以得到(x^{p-1}equiv 1(mod p))
存在x

a为%p意义下的二次非剩余时(a^{frac{p-1}{2}}equiv -1(mod p))
也就是(x^{p-1}equiv -1(mod p))
而费马小定理又可以得到(x^{p-1}equiv 1(mod p))
所以不存在x

结论1

1到(p-1)中有(frac{p-1}{2})个勒让德符号为1,(frac{p-1}{2})个勒让德符号为-1
在%p意义下，a,P?a平方的结果是一样的，1 到 P?1的平方就会有(frac{p-1}{2})个互不相同的数，剩下的就不是二次剩余

结论 2

((a+b)^p≡a^p+b^p (Mod p))
证明:直接展开二项式定理，因为p是质数，除了i=0和p项，其他项分子的p分母都消不掉，会被模成0，剩下(a^p+b^p)

Cipolla‘s Algorithm.

求解(x^2≡y(mod p))时
不断随机a，使得(egin{pmatrix} frac{a^2-y}{p} end{pmatrix}=-1)
结论1可以知道，随机一两次就能找到
令(w=sqrt{a^2-y}，x=(a+w)^{frac{p+1}{2}})

结论3 (w^pequiv -w)

证明：(w^pequiv w^{p-1}*wequiv (a^2-y)^{frac{p-1}{2}}*wequiv -w)
(x^2equiv (a+w)^{p+1})
( equiv (a+w)^{p}(a+w))
结论2可知
( equiv (a^p+w^p)(a+w))
结论3又知
( equiv(a^{p-1}*a+w^{p-1}*w)(a+w))
( equiv(a-w)(a+w))
( equiv a^2-w^2)
( equiv y)
可w这个虚部咋计算，根据拉格朗日定理，虚部系数为0

代码

咕咕

end

太多摘抄qwq
主要参考https://blog.csdn.net/L_0_Forever_LF/article/details/79052135
wiki的图片很棒
附带一个题，不过没大有联系
求1000位数是否是完全平方数，yes or no
用几个模数多试几次，再勒让德符号判定一下是否有解