最大序列和

Posted 2022-07-21 jiashun

题目描述

给出一个整数序列S，其中有N个数，定义其中一个非空连续子序列T中所有数的和为T的“序列和”。 对于S的所有非空连续子序列T，求最大的序列和。 变量条件：N为正整数，N≤1000000，结果序列和在范围（-2^63,2^63-1）以内。

输入描述:

第一行为一个正整数N，第二行为N个整数，表示序列中的数。

输出描述:

输入可能包括多组数据，对于每一组输入数据，
仅输出一个数，表示最大序列和。

示例1

输入

5
1 5 -3 2 4

6
1 -2 3 4 -10 6

4
-3 -1 -2 -5

输出

9
7
-1

---

解题思路

1、该题的思路有很多种，首先看最简单的遍历求解。

 1 #include <stdio.h>
 2 int main()
 3 
 4     int N;
 5     while(scanf("%d",&N)!=EOF)
 6     
 7         int a[N];
 8         int sum = 0;
 9         for(int i=0;i<N;i++)
10             scanf("%d",&a[i]);
11         for(int i = 0;i<N;i++)
12         
13             int thissum = 0;
14             for(int j = i;j<N;j++)
15             
16                  thissum+=a[j];
17                 if(thissum >sum)
18                 
19                     sum = thissum;
20                 
21              
22         
23         printf("%d",sum);
24     
25 

分析：由代码可知，此算法显然需要O(n²)的复杂度，部分样例会超出时间限制。

2、最大序列和的动态规划算法

设b[j] 为从第 i 到第 j 个数字的最大序列和

即　　b[j] = max_1<=i<=j SUM _{k= i -- j} a[k] 

由 b[j] 的定义可知，当b[j-1]>0 时，b[j] = b[j-1]+a[j], 否则b[j] = a[j]。

所以得出动态规划递归式：

b[j] = max b[j-1]+a[j] , a[j] 1<=j<=n

由此得出求最大序列和的动态规划算法如下：

换一个编译环境编写：

 1 #include <iostream>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int main()
 6 
 7     int n;
 8     while(cin >> n)
 9     
10         int a[n];
11         for(int i = 0;i<n;i++)
12         
13             cin >> a[i];
14         
15         int sum =0,b = 0;
16         for(int i = 0;i<n;i++)
17         
18             if(b>0) b = b+ a[i];
19             else b = a[i];
20             if(b>sum) sum = b;
21         
22         printf("%d",sum);
23     
24 

上述算法所需要的O(n) 的计算时间。