二次剩余的判断（欧拉准则）

Posted 2022-07-19 wuliking

在数论中，特别在同余理论裏，一个整数 XX 对另一个整数 pp 的二次剩余（英语：Quadratic residue）指XX 的平方X2X2 除以 pp 得到的余数。

当对于某个d及某个X，式子X2≡d(modp)成立时，称“d是模pd及某个X，式子X2≡d(modp)成立时，称“d是模p的二次剩余”

当对于某个d及某个X，X2≡d(modp)不成立时，称“d是模pd及某个X，X2≡d(modp)不成立时，称“d是模p的二次非剩余”

欧拉准则：
若p是奇质数且p不能整除d，则：
d是模p的二次剩余当且仅当：

$d^\fracp-12\equiv 1(mod p)$

d是模p的非二次剩余当且仅当：

$d^\fracp-12\equiv -1(mod p)$

以勒让德符号表示，即为：

$d^\fracp-12\equiv (\fracdp) (mod p)$