二次剩余（简单理解）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了二次剩余（简单理解）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
二次剩余
定义
p
p
p是一个奇素数。
x
2
≡
n
(
m
o
d
p
)
x^2\\equiv n(mod~p)
x2≡n(mod p)
判断n是否有解勒让德符号
≡
\\equiv
≡ 欧拉判别准则。
勒让德符号
(
n
p
)
=
1
p
∤
n
∧
n
是
p
的
二
次
剩
余
−
1
p
∤
n
∧
n
不
是
p
的
二
次
剩
余
0
p
∣
n
\\left(\\frac np\\right)=\\begincases1& p\\nmid n~\\wedge~n是p的二次剩余\\\\ -1&p\\nmid n~\\wedge~n不是p的二次剩余\\\\ 0&p\\mid n \\endcases
(pn)=⎩⎪⎨⎪⎧1−10p∤n ∧ n是p的二次剩余p∤n ∧ n不是p的二次剩余p∣n
在区间
[
1
,
p
−
1
]
[1,p-1]
[1,p−1]中存在解的数称为
p
p
p的二次剩余，有
p
−
1
2
\\frac p-12
2p−1个。
欧拉判别式：
(
n
p
)
≡
n
(
p
−
1
)
2
(
m
o
d
p
)
\\left(\\frac np\\right)\\equiv n^\\frac(p-1)2(mod~p)
(pn)≡n2(p−1)(mod p)
简单理解：
n
(
p
−
1
)
2
≡
(
n
(
p
−
1
)
)
1
2
(
m
o
d
p
)
≡
1
≡
±
1
(
m
o
d
p
)
n^\\frac (p-1)2\\equiv(n^(p-1))^\\frac 12(mod~p)\\equiv \\sqrt1\\equiv\\pm1(mod~p)
n2(p−1)≡(n(p−1))21(mod p)≡1≡±1(mod p)
等于-1时无解，所以此时n不是p的二次剩余
Cipolla 算法(求解算法)
理解类似复数域的东西。
i = − 1 i=\\sqrt-1 i=−1，而 n n n可能在模 p p p的情况下得不到整数解，所以我们也弄一个复数域。
就像是当 n n n不是 p p p的二次剩余的时候，我们设 w 2 ≡ n w^2\\equiv n w2≡n。
当n是p的二次剩余时，我们找到一个数 a a a使 ( a 2 − n ) (a^2-n) (a2−n)不是p的二次剩余， w 2 ≡ ( a 2 − n ) w^2\\equiv(a^2-n) w2≡(a2−n)。则 x 2 ≡ n ( m o d p ) x^2\\equiv n(mod~p) x2≡n(mod p)的解是 ( a − w ) ( p + 1 ) 2 (a-w)^\\frac (p+1)2 (a−w)2(p+1)
证明：
先证明一些小定理：
定理1：
(
a
+
b
)
p
≡
a
p
+
b
p
(a+b)^p\\equiv a^p+b^p
(a+b)p≡ap+bp
(
a
+
b
)
p
≡
∑
i
=
0
p
C
p
i
a
p
−
i
b
i
≡
∑
i
=
0
p
p
!
i
!
(
p
−
i
!
)
a
p
−
i
b
i
≡
a
p
+
b
p
(
m
o
d
p
)
\\beginaligned(a+b)^p&\\equiv\\sum_i=0^pC_p^ia^p-ib^i\\\\ &\\equiv\\sum_i=0^p\\frac p!i!(p-i!)a^p-ib^i\\\\ &\\equiv a^p+b^p(mod~p) \\endaligned
(a+b)p≡i=0∑pCpiap−ibi≡i=0∑pi!(p−i!)p!ap−ibi≡ap+bp(mod p)
定理2：
w
p
≡
−
w
(
m
o
d
p
)
w^p\\equiv-w(mod~p)
wp≡−w(mod p)
w
p
≡
w
p
−
1
w
≡
(
w
2
)
p
−
1
2
w
≡
(
n
)
p
−
1
2
w
≡
−
w
\\beginaligned w^p&\\equiv w^p-1w\\\\ &\\equiv(w^2)^\\frac p-12w\\\\ &\\equiv(n)^\\frac p-12w\\\\ &\\equiv-w\\\\ \\endaligned
wp≡wp−1w≡(w2)2p−1二次剩余基础