二分与三分

Posted 2022-05-24 darkvalkyrie

二分与三分

二分查找

在一个单调序列中查找一个元素的算法。

一般偷懒做法：lower_bound函数直接实现。

具体实现：不断以从答案所在的区间中间划分出两个子区间，舍弃不存在答案的那一个子区间，在存在答案的那个区间继续二分。

二分答案

在所有问题的答案的集合中二分查找最优解的算法。

具体而言，就是先找出答案的范围，确定答案的集合，判断答案的单调性，并在答案的范围中进行二分，判断依据为答案是否成立或可行。

是否可以二分答案的条件：

1. 答案具有单调性，即可二分性。
2. 二分出的答案可以进行可行性检验。

题目特征：经常出现“最大值最小”这种诡异的说法。

推荐题目：

P1281 书的复制

P1462 通往奥格瑞玛的道路

三分求单峰函数极值

在一个单调单峰/单谷函数中求解最值的算法。

是否可以进行三分的条件：

1. 函数是单峰的
2. 函数是严格单调的（即不存在一段平直的区间）

对于存在最值得一段区间\([l,r]\)，我们取出其中的两个点\(lmid\)和\(rmid\)，使得这个区间被分成三段，对于任意的\(lmid\)和\(rmid\)，会出现以下两种情况：

1. \(f(lmid)<f(rmid)\)，此时\(lmid\)和\(rmid\)要不然都在最值右边，要不然在最值两边，由于函数是严格单调的，这样我们就可以确保\([l,lmid]\)这一段区间是不存在最值的，舍弃它，在剩下的子区间中继续三分。
2. \(f(lmid)>f(rmid)\)，类比上面这种情况，我们舍弃\([rmid,r]\)这段区间。

当然，\(lmid\)和\(rmid\)的值只要\(lmid<rmid\)且\(l<lmid,r>rmid\)就可以任意取，比如说取三等分点，不过有一种更优的方法。

设\(lmid\)和\(rmid\)分别是\(l,r\)的稍微偏离中点一点点的左边和右边的位置，这样不仅保证了函数被分为三段，又实现了每次三分近似于二分，又保证了这个三分的复杂度近似于\(O(logn)\)。

具体实现看代码：

while(l+eps<r)//eps为精度
        double lmid=(l+r)/2-eps/10,rmid=(l+r)/2+eps/10;//为了不出意外，我把eps除以了10
        if(calc(lmid)<calc(rmid)) l=lmid;
        else if(calc(lmid)>=calc(lmid)) r=rmid; 

板子：

P3382 【模板】三分法