二分与三分

Posted 2021-12-25 lcezych

1.介绍一下二分

• 什么是二分？

二分法，顾名思义，就是一次分成两份，实际也就是这样（其实并不是）

咳咳，二分法，就是在一个单调有序的序列（或者集合，函数，只要是单调有序的就行）中查找一个解，每次把当前的范围从中间劈开分为左右两部分，然后判断解在哪个部分中并且不断地调整上下界，直到找到答案。

二分是一种常用的算法，常常是我们解决问题的突破口（在你没有思路的时候暴力二分求解）。

二分的基本用途是在单调序列或者单调函数中进行查找操作。因此如果问题的答案具有单调性，就可以考虑二分判定

是的，二分和判定

如果你只二分而不判定的话，就无法继续二分，也无法退出二分，就相当于你卡在了一个非常尴尬的位置上

所以二分的时间复杂度为O(二分次数*单次判定的复杂度)

如果是在正整数上二分的话，二分次数就是log n，判定结束二分时只需要看看目前左右端点是否一样就行了

而如果是在实数上二分的话，就需要判定精度，abs(l-r)是否小于给定的精度

• 二分要注意的事项

1.单调性，单调性，单调性（重要的事情说三遍）

　　只有具有单调性的集合或者函数才可以用二分，否则就算你分出来了区间也不能进行下一步的操作。如果当前给定的数据不具有单调性，你不妨给他排一下序

2.虽然你使用了二分，而且单纯的二分复杂度也不是很高，但你还是要好好写一写检查的函数，否则还是会TLE

2.二分的常见模型

 

1.二分答案

　　看到最小值最大或者是最大值最小的问题，基本上就是二分没跑了，需要在确定答案后，配合其他算法检查这个答案是否合理

2.二分查找

　　用具有单调性的布尔表达式求解分界点

3.代替三分

　　有的时候对于一些单峰函数，我们可以用二分导函数的方法求解函数极值（什么是导函数？详情参见百度百科或高中选修2-3或高等数学（一）

3.二分板子

1.整数定义域上的二分

代码：

 

bool check(int l)

    //......


int erfen(int 1,int n)

    int l=1,r=n;
    int ans;
    while(l<=r)
    
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    
    return l;
  

 

 

2.实数定义域上的二分

代码：

 

double eps=0.001;//这个随着题目要求而改变 

bool check(double l)

    //......


double erfen(double 1,double n)

    double l=1,r=n;
    double ans;
    while(fabs(l-r)>eps)
    
        double mid=(l+r)/2.0;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    
    return l;
  

 

 

（在你没有思路的时候暴力二分求解）