最大公约数

Posted 2022-05-11 seanocean

 

一、辗转相除法

　　

inline int GCD(int x,int y)

    int r=x%y;
    while(r) x=y,y=r,r=x%y;
    return y;

　　原理证明

• 因为a=b+c,于是b,c的公约数也必然是a的约数,假设(b,c)=e,
• ((b,c)=e表示e为b和c的最大公约数)那么有elb+c,即ela，
• 根据"d是b,c的公约数"知道dle,,
• 又因为e也是a,b的公约数,eld,综上有e=d
• 可见(a,b)=(b,c)=d

 

二、二进制算法

可将x,y分为六种情况进行讨论：

1. 若x=0或y=0:返回y或x；
2. 若x<y:交换x,y;
3. 若x为偶数且y为偶数:gcd（x/2,y/2）;
4. 若x为偶数且y为奇数:gcd(x/2,y);
5. 若x为奇数且y为偶数:gcd(x,y/2);
6. 若x为奇数且y为奇数:gcd(x-y,y);

inline int gcd(int x,int y)

    int n=0,m=0;
    while(!(x&1)) ++n,x>>=1;
    while(!(y&1)) ++m,y>>=1;
    n=min(n,m);
    while(1)
    
         if(x<y) swap(x,y);
         if(!(x-=y)) return y<<n;
         while(!(x&1)) x>>=1;
    
 

 

三、最小公倍数

　　几个数的最小公倍数为几个数的乘积除以这几个数的最大公约数

四、扩展欧几里得

　　扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式(裴蜀定理，博客整除这一章有介绍)： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

　　公式表述1

• gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
• 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
• 假设d是a,b的一个公约数，则有
• d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
• 因此d是(b,a mod b)的公约数
• 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
• d | b , d |r ，但是a = kb +r
• 因此d也是(a,b)的公约数
• 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

　　公式表述2

• 首先根据裴蜀定理得，解一定存在
• 其次因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b),所以p*a+q*b=gcd(b,a%b)=p*b+q*a%b=p*b+q*(a-a/b*b)=q*a+(p-a/b*q)*b，这样它就把a与b的线性组合简化为b与a%b的线性组合了
• 假根据前面的结论，a，b都在减小，当b减小到0时，得出p=1，其递归会最初的p,q就行了

//其中x,y为满足x*a+y*b=gcd(a,b)的解，ret为gcd(a,b);
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)

    int ret,temp;
    if(!b) 
    
        x=1,y=0;
        return a;
    
    ret=exgcd(b,a%b,x,y);
    temp=x,x=y,y=temp-a/b*y;
    return ret;

 

五、求解线性方程

　　定理一：对于方程a*x+b*y=c,该方程等价于a*x≡c(mod) b,有整数解的充分必要条件是：c%GCD（a,b）=0。

　　定理二：若GCD(a,b)=1,且x0,y0为a*x+b*y=c的一组解，则方程的任意解可以表达为  x=x0+b*t,y=y0-a*t,对于任意整数t皆成立

　　根据定理一，我们可以求出方程a*x0+b*y0=gcd(a,b)的一组解,x0,y0,两边同时除以GCD（a,b）再乘以c就得到原方程的一个解

　　根据定理二，我们就可以求出一组特解(最小整数解),t=b/gcd(a,b),x=(x%t+t)%t;