数论总结之 中国剩余定理

Posted 2022-05-06 qxyzili--24

背景

　　　　我！终于学会孙子定理了！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　　　　好难啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

　　　　QAQ

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 中国剩余定理

　　中国剩余定理又名孙子定理。

　　在了解中国剩余定理之前，我先放出之前终止了我很长时间的懵逼的一段话。

中国剩余定理介绍

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

在《孙子歌诀》中给出了解决这个问题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。很是朗朗上口，但这是什么意思呢？

具体解法分三步：

找出三个数：

1.从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。

2.用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。

3.用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？

　　这是我在看一篇博客的时候，博主写在最前面的一段话。

　　很多情况下，我们会看不懂博客最大的原因就是，没有强大的知识储备去理解太过空洞的数学推导。

　　那么这个时候就需要出现一篇充满了友好的例子的博客。【并不指我，是这个

　　然后在了解什么是孙子之前【雾，我们先了解一个有关的知识

　　乘法逆元

　　好的我默认你们已经懂了。

　　接下来切入正题。

　我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

     首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

     有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

     这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

　　我们很显然可以得到下面的三条结论：

1. 1. 当n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3是3的倍数。
   2. 当n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3是5的倍数。
   3. 当n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2是7的倍数。

孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2.

　　但是我们要清楚，这个时候我们得到的解并不是最小解。

　　那么怎么才能得到最小解呢？

　　我们需要了解一个结论：

　　　　如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）。

　　　　即如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。

　　所以（n1+n2+n3）%105-->3,5,7的公倍数 就是最终的最小解。

　　好的，那么我们接下来把它转换成数学语言。

　　　　求解同余方程

　　　  其中m1，m2，..........，mk都是互质的整数，求x的最小非负整数解。