poj 1006Biorhythms（数论--中国剩余定理 模版题）｛附中国剩余定理 ｝

Posted 2020-08-19 konjac蒟蒻

题意： 有

解法：中国剩余定理。定义为有 k 对关系：P % ai = bi，其中 ai 两两之间互质。（而两两之间不互质就是把原来的关系式化为：P = bi (mod ai) →  ai * x + bi = P，用拓展欧几里德求解同余方程组了。）
    而 ai 两两互质时，可知道 a2*a3*...*ak = 1 (mod a1)  和  a1*a3*...*ak = 1 (mod a2) 等关系。那么想使 P % ai = bi ，就是要式子两边同乘 bi 了。

 

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下面是转载的了~ 原博：http://blog.csdn.net/shanshanpt/article/details/8724769

《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。

 --------这个就是传说中的“中国剩余定理”。 其实题目的意思就是，n % 3 = 2, n % 5 = 3, n % 7 = 2; 问n是多少？

那么他是怎么解决的呢？

看下面：

题目中涉及 3， 5，7三个互质的数、

令：5 * 7 * a % 3 = 1;  --------------> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70；

       3 * 7 * b % 5 = 1;  --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21；

       3 * 5 * c % 7 = 1;  --------------> c  = 1; 即3 * 5 * 1 = 15；

为什么要使余数为1：是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以！

( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 =3, n % 7 =2; )

    那么：要使得n % 3 = 2，那么（ 5 * 7 * 2 ）*2  % 3 = 2；( 因为5 * 7 * 2 % 3 = 1 )

    同理： 要使得n % 5 = 3，那么（ 3 * 7 * 1 ）*3  % 5 = 3；( 因为3 * 7 * 1 % 5 = 1 )

    同理：要使得n % 7 = 2，那么（ 3 * 5 * 1 ）* 2  % 7 = 2；( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )

那么现在将（ 5 * 7 * 2 ）* 2和（ 3 * 7 * 1 ）* 3和（ 3 * 5 * 1 ）* 2相加会怎么样呢？我们知道

   （ 5 * 7 * 2 ）* 2可以被5和7整除，但是%3等于2

   （ 3 * 7 * 1 ）* 3可以被3和7整除，但是%5等于3

   （ 3 * 5 * 1 ）* 2可以被3和5整除，但是%7等于2

那么即使相加后，%3， 5， 7的情况也还是一样的！

    那么就得到一个我们暂时需要的数（ 5 * 7 * 2 ）* 2 +（ 3 * 7 * 1 ）* 3 +（ 3 * 5 * 1 ）* 2 = 233

但不是最小的!所有我们还要 233 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23  得解！