数论--中国剩余定理

Posted 2020-10-09 东流vip

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数论--中国剩余定理相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

中国剩余定理：

国务院：中国油气人均剩余可采存储量仅为世界平均的6%...

咳咳，不对，不是这个

中国剩余定理，又名孙子定理：

听说过韩信点兵吗？

韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信很快说出人数：1049。

韩信一定是读过《孙子算经》的，

书里面有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

也就是：

一堆物品，

3个3个分剩2个，

5个5个分剩3个，

7个7个分剩2个，

问这个物品有多少个？

解这题，我们需要构造一个答案

我们需要构造这个答案

5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 1

3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 1

3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 1

这3个式子对不对，别告诉我逆元你忘了(*´∇｀*)，忘了的人请翻阅前几章复习

然后两边同乘你需要的数

2 * 5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 2

3 * 3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 3

2 * 3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 2

令

a = 2 * 5*7*inv(5*7, 3)

b = 3 * 3*7*inv(3*7, 5)

c = 2 * 3*5*inv(3*5, 7)

那么

a % 3 = 2

b % 5 = 3

c % 7 = 2

其实答案就是a+b+c

因为

a%5 = a%7 = 0 因为a是5的倍数，也是7的倍数

b%3 = b%7 = 0 因为b是3的倍数，也是7的倍数

c%3 = c%5 = 0 因为c是3的倍数，也是5的倍数

所以

(a + b + c) % 3 = (a % 3) + (b % 3) + (c % 3) = 2 + 0 + 0 = 2

(a + b + c) % 5 = (a % 5) + (b % 5) + (c % 5) = 0 + 3 + 0 = 3

(a + b + c) % 7 = (a % 7) + (b % 7) + (c % 7) = 0 + 0 + 2 = 2

你看你看，答案是不是a+b+c(｡･ω･)ﾉﾞ，完全满足题意

但是答案，不只一个，有无穷个，每相隔105就是一个答案（105 = 3 * 5 * 7）

根据计算，答案等于233,233%105 = 23

如果题目问你最小的那个答案，那就是23了

（233怎么算的呢？

a=2*5*7*2=140;

b=3*3*7*1=63;

c=2*3*5*1=30;

　140+63+30=233;

hhh2333333333333333,答案233出来了吧，hhh,不会算逆元的小伙伴该回去复习逆元了！）

以下抄自百度百科

中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，

方程组(S)

有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设

是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

设

这个就是逆元了

通解形式为

在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：

那么代码来了：

 1 #include<cstdio>
 2 
 3 typedef long long LL;
 4 
 5 LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元 
 6     if(t>=p)
 7     t=t%p;
 8     return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
 9 }
10 
11 //n个方程：x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n)
12 LL china(int n, LL m[], LL a[]){
13     LL M = 1, ret = 0;
14     for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i];
15     for(int i = 0; i < n; i ++){
16         LL w = M / m[i]; 
17         ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;
18     }
19     return (ret + M) % M;
20 }
21 int main(){
22     int n;
23     LL m[2000],a[2000];
24     scanf("%d",&n);
25     for(int i=0;i<n;i++)
26     {
27         scanf("%d%d",&m[i],&a[i]);
28      } 
29      printf("%lld\\n",china(n,m,a));
30 }

3个式子：

x%3=2

x%5=3

x%7=2

求x;

运行程序，输入

3 2

5 3

7 2

试试看答案是不是23

告诉你一个好消息，上面这个中国剩余定理只是基础，2333333333，是要求m数组里面的元素两两互质的！

那如果不一定是呢？怎么办？

上模板吧：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 typedef pair<LL, LL> PLL;
 6 
 7 LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元 
 8     if(t>=p)
 9     t=t%p;
10     return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
11 }
12 
13 PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组 
14     LL x = 0, m = 1;
15     for(int i = 0; i < n; i ++) {
16         LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = __gcd(M[i], a);
17         if(b % d != 0)  return PLL(0, -1);//答案不存在，返回-1 
18         LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
19         x = x + m*t;
20         m *= M[i]/d;
21     }
22     x = (x % m + m ) % m;
23     return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值 
24 }
25 
26 int main()
27 {
28     int n;
29     scanf("%d",&n);
30     LL a[2017],b[2017],m[2017];
31     for(int i=0;i<n;i++)
32     {
33         scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&m[i]);
34     }
35     PLL pa=linear(a,b,m,n);
36     printf("%lld\\n",pa.first);
37 }