素数专题——素数筛法

Posted 2022-03-10 jiameng991010

关于素数的判断，大家最常用的方法估计就是循环判断到sqrt(n)的方法了：（直接上代码）

bool isprime(int n)

	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
	
		if(n%i==0)
		return false;
	
	return true;

　　

这种素数的判断方法的确直观，但这种算法只对较小数据量适用，当数据量较大时，该方法就不再适用于素数的判定了。因此，我们此处引入一种新的算法——素数筛法。

首先介绍一下什么叫素数筛法：

假设所有待判断的数字的上限是L，声明一个长度为L＋1的布尔数组A[L＋1]。用这个数组来表示对应下标的数字是不是素数。起初，将数组所有成员标记为1，然后按照某种方法将其中的非素数都标记为0即可，完成后的数组有这样的特征：所有素数为下标的成员内存的数字都是1，所有非素数为下标的成员内存的数字都是0。例如 ：2 是素数，那么A[2]＝1；4不是素数，那么A[4]＝0。因此，我们获取了一个素数表。这样，判断一个数是不是素数，直接查找即可。这样，我们在使用素数的时候就无需再进行素数的判断，这将大大缩短程序的运行时间，虽然我们需要提前计算素数表，但这相比较于用的时候再进行素数的判定，无疑是一个巨大的进步。下面介绍如何进行素数的标记：

这个标记的方法是这样的：1不是质数，也不是合数，标记0。第二个数2是质数标记为1，而把2后面所有能被2整除的数都标记为0。2后面第一个没划去的数是3，把3标记为1，再把3后面所有能被3整除的数都标记为0。3后面第一个没划去的数是5，把5标记为1，再把5后面所有能被5整除的数都标记为0。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都标记为0，留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”。

 1 int prime[MAXN];//素数数组
 2 bool isprime[MAXN + 10];//is_prime[i]表示i是素数
 3 //返回n以内素数的个数
 4 int sieve(int n)
 5 
 6     int p = 0;//素数个数计数器
 7     for (int i = 0; i <= n; i++)
 8         is_prime[i] = true;
 9     is_prime[0] = is_pri[1] = false;//首先标记0和1不是素数
10     for (int i = 2; i <= n; i++)
11     
12         if (is_prime[i]) //如果i是素数
13         
14             prime[++p] = i;//将素数放进素数表
15             for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)//所有i的倍数都不是素数
16                 is_prime[j] = false;
17         
18     
19     return p;
20 

 

当然这个方法已经有很大的改进了，但是仍然存在会有重复筛掉某一合数，增加无用计算的现象，例如，删3的倍数时15标记为0，删15的倍数时，同样再一次将15标记为0。这还不够精简，因此有人将这个方法进行了改进：

首先初始A［1］＝0，A［2］＝1；

其次，将所有偶数下标的成员全部置为0，

接下来求出 t＝√A 

接下来从i＝3开始到i＝t开始当A［i］＝1时进行下列操作

｛

   从 j＝i＊i 开始，到 j＝L 结束，每次 j 加 2＊i 让A［j］＝0

｝

改进原理如下：

将1和2进行初始化很容易理解

接着是将所有的偶数标记为0，这也很好理解，因为除了2之外所有的偶数都不是素数，这样一来，数据处理量直接缩小一半，爽！！！！

接下来就是问题的关键了，也是比较难理解的一部分，为什么再循环判断的时候到√A 就结束了哪？我们是这样解释的，因为在内部循环中我们是让 j 从i * i 开始循环的，如果 i > √A ,呢么我们一定可以保证 i *  i 是大于 L 的，所有就没有必要再继续循环了。内循环的处理原理是这样的：实际上我们处理的是 i 的倍数是不是素数的问题.

为什么 i 从3 开始 到 t 便可以结束呢？原因是循环之内（黄色字体）的 j 每次是以 i ＊ i 为初始值进行判断的， 如果 i > t ，那么 i ＊ i 一定 大于 L，所以 就没必要进行 t 之后的循环了。只判断 A［ i ］＝ 1（即 A［ i ］是奇数）的情况，原因是 循环之内的处理，实际上处理的是 i 的倍数是不是素数的问题，大家都清楚，不仅 2 的所有倍数是偶数，所有偶数的倍数都是偶数。

在解释循环之内（黄色字体）的内容，有人很好奇，为什么不用考虑     i ＊3 到 i ＊（ i－1）之间的数呢，那么假设 有一个数 p 介于 3 和（ i － 1）之间， 显然 ，如果 i ＊ p 是小于 L 范围之内的数， 在 i ＝ p

的时候，就应该判断过这个数了。

j ＝ i ＊ i 是非素数，这个就很明显了。

至于为什么 j 每次的增量是 2 ＊ i ，而不是 i 呢？因为奇数个奇数相加一定是奇数，偶数个奇数相加一定是偶数。首先我们已经在判断时保证 i 是 奇数，那么 i 个i 相加就可以表示为 i ＊ i，如果增量是 i 且 i ＊ i

是奇数的话，i ＊ i ＋i 必定是偶数， i＊i＋2i 才是奇数，也就说增量是 i 的时候，每两次循环中，有一次 就判断偶数（偶数之前已经被排除过了），这样岂不是违背了要提高效率的初衷？因此，在当前循环中需

要处理的只是 奇数且是非素数的情况。j ＝i ＊ i＋2i＝i ＊（ i ＋ 2）显然也是非素数，以此类推 j ＝ j ＋2*i 是非素数，直至该数超过上限结束本次循环。

这样就保证万无一失且不重复的排除所有情况啦。

好了直接上代码

 1 int prime[MAXN];//素数数组
 2 bool isprime[MAXN + 10];//is_pri[i]表示i是素数
 3 //返回n以内素数的个数
 4 int sieve(int n)
 5 
 6     int p = 0;//素数个数计数器
 7     for (int i = 0; i <= n; i++)
 8         is_prime[i] = true;
 9     is_prime[0] = is_prime[1] = false;//首先标记0和1不是素数
10     is_prime[2] = true;//标记2是素数
11 
12     for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
13     
14         if (is_prime[i]) //如果i是素数
15         
16             prime[++p] = i;//将素数放进素数表
17             for (int j = i * i; j <= n; j += 2 * i)//所有i的倍数都不是素数
18                 is_prime[j] = false;
19         
20     
21     return p;
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