转载一般筛法求素数+快速线性筛法求素数

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了转载一般筛法求素数+快速线性筛法求素数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

素数总是一个比较常涉及到的内容,掌握求素数的方法是一项基本功。

基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数,直接枚举因子2 。。N^(0.5) ,看看能否整除N。

如果需要判断的次数较多,则先用下面介绍的办法预处理。


 一般的线性筛法

首先先介绍一般的线性筛法求素数

 

 

void make_prime()  {      
	memset(prime, 1, sizeof(prime));
	prime[0]=false;     
	prime[1]=false;     
	int N=31700;      
	for (int i=2;  i<N;  i++)         
	  if (prime[i]) {          
		primes[++cnt ]=i;     
		for (int k=i*i; k<N; k+=i)        
			prime[k]=false;       
	  }      
	return;
}   


 

这种方法比较好理解,初始时,假设全部都是素数,当找到一个素数时,显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i ,  比 i*2 要快点 ),把这些合数都筛掉,即算法名字的由来。

但仔细分析能发现,这种方法会造成重复筛除合数,影响效率。比如10,在i=2的时候,k=2*15筛了一次;在i=5,k=5*6 的时候又筛了一次。所以,也就有了快速线性筛法。

 

快速线性筛法

快速线性筛法没有冗余,不会重复筛除一个数,所以“几乎”是线性的,虽然从代码上分析,时间复杂度并不是O(n)。先上代码

 

#include<iostream>
using namespace std;    
const long N = 200000;   
long prime[N] = {0},num_prime = 0;    
int isNotPrime[N] = {1, 1};   
int main()    
{     
     	for(long i = 2 ; i < N ; i ++)       
       	{            
		if(! isNotPrime[i])               
	 		prime[num_prime ++]=i;  
		//关键处1        
		for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)
    		{               
		      	isNotPrime[i * prime[j]] = 1;  
	  		if( !(i % prime[j] ) )  //关键处2                  
				break;           
		}        
	}        
	return 0;   
}  


 


首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。

 

不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,


①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等

 

②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数(2<=i<=n),  pi<=pj  ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j] 的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质*i

 

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话,当 i‘ 等于 i‘=3*3*5 时,筛除2*i‘ 就和前面重复了。

 

需要证明的东西:

  1. 一个数会不会被重复筛除。
  2. 合数肯定会被干掉。

根据上面红字的条件,现在分析一个数会不会被重复筛除。

设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数(1<=i<=n)  ,  pi<=pj ( i<=j )

当 i = 2 时,就是上面①的情况,

当 i >2 时, 就是上面②的情况, 对于 i ,第一个能满足筛除 x 的数  y 必然为 y=p2*p3...*pn(p2可以与p1相等或不等),而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。


证明合数肯定会被干掉? 用归纳法吧。


 类比一个模型,比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ,1<=i<=n, 1<=j<=n,

我们会这么写

for (i=1; i<n; ++i )

  for (j=i+1; j<=n; ++j)

   {

    /////

   }

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理,不过这里比较难理解,没那么直观。

 

1楼提供的方法,我整理下

//偶数显然不行,所以先去掉偶数。可以看作上面第一种的优化吧。

//不过这种方法不太直观,不太好理解。

 

 

我推荐这个算法! 易于理解。 只算奇数部分,时空效率都还不错!
half=SIZE/2; 
int sn = (int) sqrt(SIZE); 
for (i = 0; i < half; i++) 
   p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3,即p[i]对应2*i+3 
for (i = 0; i < sn; i++) {    
if(p[i])//如果 i+i+3 是素数
{     
    for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k) 
    // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2                                        
    // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i
    //    下标 i         k*i+k+i
    //对应数值 k=i+i+3   k^2         
       p[j]=false; 
} 
} 
//素数都存放在 p 数组中,p[i]=true代表 i+i+2 是素数。
//举例,3是素数,按3*3,3*5,3*7...的次序筛选,因为只保存奇数,所以不用删3*4,3*6....

 

扩展阅读

  1. 打印质数的各种算法 http://coolshell.cn/articles/3738.html  里面有个用C++模板实现的,纯属开阔眼界,不怎么实用。
  2. 检查素数的正则表达式  http://coolshell.cn/articles/2704.html  数字n用  1111。。1 (n个1)表示,纯属坑爹

 

转载自ACM 【程式=演算法+資料結構】@蜡笔小轩V的博客

 

以上是关于转载一般筛法求素数+快速线性筛法求素数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

筛法求素数的几个模板

线性筛法求素数

筛法求素数

筛法求素数

欧拉筛法求素数

普通方法求素数与筛法求素数比較