埃氏筛法(素数筛)

Posted 2020-06-08

1. 埃式筛法：给定一个正整数n(n<=10^6)，问n以内有多少个素数？

    

做法：做法其实很简单，首先将2到n范围内的整数写下来，其中2是最小的素数。将表中所有的2的倍数划去，表中剩下的最小的数字就是3，他不能被更小的数整除，所以3是素数。再将表中所有的3的倍数划去……以此类推，如果表中剩余的最小的数是m，那么m就是素数。然后将表中所有m的倍数划去，像这样反复操作，就能依次枚举n以内的素数，这样的时间复杂度是O(nloglogn)。

 

题解：如果要是按照一个一个判断是否是素数然后把ans+1，时间复杂度为O(n√n)，对于10^6的数据时间复杂度就是O(10^9)，必定会超时，但此时埃氏筛法的时间复杂度只有O(nloglogn)。

int prime[MAXN];//第i个素数
bool is_pri[MAXN+10];//is_pri[i]表示i是素数
//返回n以内素数的个数
int sieve(int n){
int p=0;
for(int i=0;i<=n;i++)is_pri[i]=true;
is_pri[0]=is_pri[1]=false;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(is_pri[i]){
prime[++p]=i;
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i)is_pri[j]=false;
}
}
return p;
}

1. 区间素数筛：给定两个正整数a、b(a<b<=10^12、b-a<=10^6)，请问[a,b)内有多少个素数？

    

   主要思想：既然在之前已经讲过b以内的和书的最小质因数不会超过√b。如果有√b以内的素数表的话，就可以把埃氏筛法运用在上面了。也就是说，我们可以先分别做好[2,√b)的表和[a,b)然后在第一个表的是素数的前提下，删去第二个表中的数即可。

   #include<iostream>
   using namespace std;
   bool pri[1000000+10];
   bool ispri[10000000+10];//ispri[i-a]=true代表i是素数
   
   void getpri(){
       memset(pri,true,sizeof(pri));
       pri[0]=pri[1]=0;
       for(int i=2;i<=1000000;i++){
           if(pri[i]){
               for(int j=2*i;j<=1000000;j+=i)pri[j]=0;
           }
       }
   }
   
   int main(){
       long long a,b;
       scanf("%lld%lld",&a,&b);
       getpri();
       memset(ispri,true,sizeof(ispri));
       for(long long i=2;i*i<b;i++){
           if(pri[i]){
               for(long long j=max((a+i-1)/i,2LL)*i;j<b;j+=i)
                   ispri[j-a]=0;
           }
       }
       long long cnt=0;
       for(int i=0;i<b-a;i++)if(ispri[i])cnt++;
       if(a==1)cnt--;
       printf("%lld\n",cnt);
   }