最短路径---迪杰斯特拉算法[图中一个顶点到其他顶点的最短距离]

Posted 2022-01-10 yundong333

转自大神：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711512.html

是真的牛逼

 看大神的吧 舒服点  我注释了点最后代码的部分

迪杰斯特拉算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。 
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

基本思想

     通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

     此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

     初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

操作步骤

(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。

(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。

 

迪杰斯特拉算法图解

以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！ 
第1步：将顶点D加入到S中。 
    此时，S=D(0), U=A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)。     注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步：将顶点C加入到S中。 
    上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。 
    此时，S=D(0),C(3), U=A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)。

第3步：将顶点E加入到S中。 
    上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。 
    此时，S=D(0),C(3),E(4), U=A(∞),B(23),F(6),G(12)。

第4步：将顶点F加入到S中。 
    此时，S=D(0),C(3),E(4),F(6), U=A(22),B(13),G(12)。

第5步：将顶点G加入到S中。 
    此时，S=D(0),C(3),E(4),F(6),G(12), U=A(22),B(13)。

第6步：将顶点B加入到S中。 
    此时，S=D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13), U=A(22)。

第7步：将顶点A加入到S中。 
    此时，S=D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

 

迪杰斯特拉算法的代码说明

以"邻接矩阵"为例对迪杰斯特拉算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。

1. 基本定义

// 邻接矩阵
typedef struct _graph

    char vexs[MAX];       // 顶点集合
    int vexnum;           // 顶点数
    int edgnum;           // 边数
    int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
Graph, *PGraph;

// 边的结构体
typedef struct _EdgeData

    char start; // 边的起点
    char end;   // 边的终点
    int weight; // 边的权重
EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。 
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。 
EData是邻接矩阵边对应的结构体。

2. 迪杰斯特拉算法

 1 /*
 2  * Dijkstra最短路径。
 3  * 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
 4  *
 5  * 参数说明：
 6  *        G -- 图
 7  *       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
 8  *     prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
 9  *     dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
10  */
11 void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
12 
13     int i,j,k;
14     int min;
15     int tmp;
16     int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
17 
18     // 初始化
19     for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
20     
21         flag[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。
22         prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
23         dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
24     
25 
26     // 对"顶点vs"自身进行初始化
27     flag[vs] = 1;
28     dist[vs] = 0;
29 
30     // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
31     for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
32     
33         // 寻找当前最小的路径；
34         // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。
35         min = INF;
36         for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
37         
38             if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
39             
40                 min = dist[j];
41                 k = j;
42             
43         
44         // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
45         flag[k] = 1;
46 
47         // 修正当前最短路径和前驱顶点
48         // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
49         for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
50         
51             tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出
52             if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
53             
54                 dist[j] = tmp;
55                 prev[j] = k;
56             
           /*关于这个tmp 就是新增了一个点，这个点先和周遭的点连一边 判断语句是距离是不是==INF,是的话连不上还是连不上，不是的话，连上再+它距离vs的
              距离(已经是最短路径了)==其他点到vs的最短路径通过这个点K之后等于多少，，这是tmp的意义， 再和人点之前的比，看看是否通过新增的点K，
              最短路径是否发生了变化,我想到了克鲁斯卡尔算法，那个是求最小生成树的，就是遍历图中所有的点，n-1条边，权值最小*/
57         
58     
59 
60     // 打印dijkstra最短路径的结果
61     printf("dijkstra(%c): \\n", G.vexs[vs]);
62     for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
63         printf("  shortest(%c, %c)=%d\\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
64