信息论最大熵模型与EM算法

Posted 2020-07-27 心潇瑶

七月在线4月机器学习算法班课程笔记——No.8

1. 统计学习基础回顾

1.1 先验概率与后验概率

　　先验概率：根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为”由因求果”问题中的”因”出现。
　　后验概率：依据得到”结果”信息所计算出的最有可能是那种事件发生，如贝叶斯公式中的，是”执果寻因”问题中的”因”。后验概率可以根据通过贝叶斯公式，用先验概率和似然函数计算出来。
　　贝叶斯定理：假设$B_1,B_2,...,B_n$互斥且构成一个完全事件，已知它们的概率$P(B_i),i=1,2,...,n$，现观察到某事件A与$B_1,B_2,...,B_n$相伴随机出现，且已知条件概率$P(A|B_i)$，求$P(B_i|A)$。
　　

$$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A|B_j)}$$

【举例分析】一个医疗诊断问题，有两种可能的假设：（1）病人有癌症。（2）病人无癌症。样本数据来自某
化验测试，它也有两种可能的结果：阳性和阴性。假设我们已经有先验知识：在所有人口中只有0.008的人
患病。此外，化验测试对有病的患者有98%的可能返回阳性结果，对无病患者有97%的可能返回阴性结果。

上面的数据可以用以下概率式子表示：
P(cancer)=0.008,P(无cancer)=0.992
P(阳性|cancer)=0.98,P(阴性|cancer)=0.02
P(阳性|无cancer)=0.03，P(阴性|无cancer)=0.97

假设现在有一个新病人，化验测试返回阳性，是否将病人断定为有癌症呢？我们可以来计算极大后验假设：
P(阳性|cancer)p(cancer)=0.98*0.008 = 0.0078
P(阳性|无cancer)*p(无cancer)=0.03*0.992 = 0.0298
因此，应该判断为无癌症。
确切的后验概率可将上面的结果归一化以使它们的和为1
P(canner|+)=0.0078/(0.0078+0.0298)=0.2
P(cancer|-)=0.79　

1.2 极大似然估计(MLE)

　　极大似然估计：已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
　　定义：设总体分布为$f(x,\theta)$，$x_1,x_2,...,x_n$为该总体采用得到的样本。因为$x_1,x_2,...,x_n$独立同分布，于是，它们的联合密度函数为：
　　

$$L(x_1,x_2,...,x_n;\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)$$
　　这里，$\theta$被看作固定但未知的参数；反过来，因为样本已经存在，可以看成$x_1,x_2,...,x_n$是固定的。$L(x,\theta)$是关于$\theta$的函数，即似然函数。求参数$\theta$的值，使得似然函数取最大值，这种方法就是极大似然估计。
　　
　　求最大似然函数估计值的一般步骤：
1） 写出似然函数；
2） 对似然函数取对数，得到对数似然函数；
3） 若对数似然函数可导，求导，解方程组$logL(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)=\sum_{i=1}^nf(x_i;\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)$，得到驻点；
4） 分析驻点是极大值点。

　　举例：10次抛硬币的结果是：正正反正正正反反正正，假设P是每次抛硬币结果为正的概率。则得到这样的实验结果的概率是：
　　

P=pp(1以上是关于信息论最大熵模型与EM算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

概率机器学习（开篇）

最大熵模型 Maximum Entropy Model

最大熵模型

EM算法及其应用GMM/pLSA/LDA

数据挖掘十大算法之EM最大期望估计算法

最大熵与EM算法