最大熵模型 Maximum Entropy Model

Posted 2020-09-04

熵的概念在统计学习与机器学习中真是很重要，熵的介绍在这里：信息熵 Information Theory 。今天的主题是最大熵模型（Maximum Entropy Model，以下简称MaxEnt），MaxEnt 是概率模型学习中一个准则，其思想为：在学习概率模型时，所有可能的模型中熵最大的模型是最好的模型；若概率模型需要满足一些约束，则最大熵原理就是在满足已知约束的条件集合中选择熵最大模型。最大熵原理指出，对一个随机事件的概率分布进行预测时，预测应当满足全部已知的约束，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小，因此得到的概率分布的熵是最大。

直观理解 MaxEnt

在求解概率模型时，当没有任何约束条件则只需找到熵最大的模型，比如预测一个骰子的点数，每个面为 ， 是， 当模型有一些约束条件之后，首先要满足这些约束条件， 然后在满足约束的集合中寻找熵最大的模型，该模型对未知的情况不做任何假设，未知情况的分布是最均匀的。举例来说对于随机变量 ，其可能的取值为 ，没有任何约束的情况下下，各个值等概率得到的 MaxEnt 模型为：

当给定一个约束 , 满足该约束条件下的 MaxEnt 模型是：

如果用欧式空间中的 simplex 来表示随机变量 的话，则 simplex 中三个顶点分别代表随机变量 的三个取值 A, B, C , 这里定义 simplex  中任意一点 到三条边的距离之和（恒等于三角形的高）为 1，点到其所对的边为该取值的概率，比如任给一点 ，则 等于 到  边 BC 的距离，如果给定如下概率：

分别用下图表示以上两种情况：

明白了 simplex 的定义之后，将其与概率模型联系起来，在 simplex 中，不加任何约束，整个概率空间的取值可以是 simplex 中的任意一点，只需找到满足最大熵条件的的即可；当引入一个约束条件 后，如下图中 (b),模型被限制在 表示的直线上，则应在满足约束 的条件下来找到熵最大的模型；当继续引入条件 后，如图(c)，模型被限制在一点上，即此时有唯一的解；当 与 不一致时，如图(d)，此时模型无法满足约束，即无解。在 MaxEnt 模型中，由于约束从训练数据中取得，所以不会出现不一致。即不会出现(d) 的情况。

接下来以统计建模的形式来描述 MaxEnt 模型，给定训练数据 ，现在要通过Maximum Entrop 来建立一个概率判别模型，该模型的任务是对于给定的 以条件概率分布 预测 的取值。根据训练语料能得出 的经验分布， 得出部分 的概率值，或某些概率需要满足的条件,即问题变成求部分信息下的最大熵或满足一定约束的最优解，约束条件是靠特征函数来引入的，首先先回忆一下函数期望的概念

对于随机变量 ，则可以得到：

随机变量期望: 对于随机变量 ，其数学期望的形式为

随机变量函数期望：若 ， 则关于 的函数 的期望： .

特征函数

特征函数 描述 与 之间的某一事实，其定义如下：

特征函数 是一个二值函数， 当 与 满足事实时取值为 1 ，否则取值为 0 。比如对于如下数据集：

数据集中，第一列为 Y ，右边为 X ，可以为该数据集写出一些特征函数，数据集中得特征函数形式如下：

为每个 <feature,label> 对 都做一个如上的特征函数，用来描述数据集数学化。

约束条件

接下来看经验分布，现在把训练数据当做由随机变量 产生,则可以根据训练数据确定联合分布的经验分布 与边缘分布的经验分布 :

用 表示特征函数 关于经验分布 的期望，可得：

前面已经得到了，数数 的次数就可以了，由于特征函数是对建立概率模型有益的特征，所以应该让 MaxEnt 模型来满足这一约束，所以模型   关于函数 的期望应该等于经验分布关于 的期望，模型 关于 的期望为：

经验分布与特征函数结合便能代表概率模型需要满足的约束，只需使得两个期望项相等， 即 ：

上式便为 MaxEnt 中需要满足的约束，给定 个特征函数 ，则有 个约束条件，用 表示满足约束的模型集合：

从满足约束的模型集合 中找到使得 的熵最大的即为 MaxEnt 模型了。

最大熵模型

关于条件分布 的熵为：

首先满足约束条件然后使得该熵最大即可，MaxEnt 模型 为：

综上给出形式化的最大熵模型：

给定数据集 ，特征函数 ，根据经验分布得到满足约束集的模型集合 ：

MaxEnt 模型的求解

MaxEnt 模型最后被形式化为带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将其转为无约束优化的问题，引入拉格朗日乘子：

， 定义朗格朗日函数 :

现在问题转化为: ，拉格朗日函数 的约束是要满足的 ，如果不满足约束的话，只需另 ，则可得 ，因为需要得到极小值，所以约束必须要满足，满足约束后可得： ，现在问题可以形式化为便于拉格朗日对偶处理的极小极大的问题：

由于 是关于 P 的凸函数，根据拉格朗日对偶可得 的极小极大问题与极大极小问题是等价的：

现在可以先求内部的极小问题 ， 得到的解为关于 的函数，可以记做 ：

上式的解 可以记做：

由于求解 的最小值 ,只需对于 求导即可,令导数等于 0 即可得到 ：

由于 ，可得:

进而可以得到：

这里  起到了归一化的作用，令 表示 ，便得到了 MaxEnt 模型 ：

这里 代表特征函数， 代表特征函数的权值，   即为 MaxEnt 模型，现在内部的极小化求解得到关于 的函数，现在求其对偶问题的外部极大化即可，将最优解记做 :

所以现在最大上模型转为求解 的极大化问题，求解最优的 后， 便得到了所要求的MaxEnt 模型，将 带入 ，可得：

以上推倒第二行到第三行用到以下结论：

倒数第二行到最后一行是由于：，最终通过一系列极其复杂的运算，得到了需要极大化的式子：

极大化似然估计解法

这太难了，有没有简单又 work 的方式呢？ 答案是有的，就是极大似然估计 MLE 了，这里有训练数据得到经验分布 ， 待求解的概率模型 的似然函数为：

将 带入以下公式可以得到：

显而易见，拉格朗日对偶得到的结果与极大似然得到的结果时等价的，现在只需极大化似然函数即可，顺带优化目标中可以加入正则项，这是一个凸优化问题，一般的梯度法、牛顿法都可解之，专门的算法有GIS IIS 算法，。

这里给出来做下参考吧！ ==

 

参考文献：

《统计学习方法》

http://blog.csdn.net/itplus/article/details/26550201

http://www.cnblogs.com/hexinuaa/p/3353479.html

A Maximum Entropy Approach A Maximum Entropy Approach

Classical Probabilistic Models and Conditional Random Fields