数据挖掘十大算法之EM最大期望估计算法

Posted 2022-05-16 Better Bench

目录

• 1 简介
• 2 投硬币问题
• 3 EM算法过程
• 4 EM收敛性定理

1 简介

EM算法是一种迭代算法，用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的迭代由两步组成：E步，求期望，M步，求极大。
概率模型有时既含有观测变量，又含有隐变量或潜在变量，如果概率模型的变量都是观测变量，那么给定数据，可以直接用极大似然估计法，或贝叶斯法估计模型参数。但是，当模型含有隐变量时，就不能用简单地使用这些估计方法。
是通过不断求解下界的极大化逼近求解对数似然函数极大化的算法。

2 投硬币问题

假设有三枚硬币，分别记A、B、C，这些硬币正面出现的概率分别是$\pi$,p和q。进行如下掷硬币试验：先掷硬币A，正面继续掷硬币B，反面掷硬币C；然后掷选出来的硬币B或C，出现正面记为1，反面记为0；独立重复n次试验，观测结果如下
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1
假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测掷硬币的过程，问如何估计三个硬币正面出现的概率，即三硬币模型的参数。
解：
三个硬币的模型可写作
$$\begin{gathered} P(y|\theta )=\sum _z(y,z|\theta )=\sum _{z}P(z|\theta )P(y|z,\theta ) \\ =\pi p_y(1-p{)}^{1-y}+(1-\pi )q_y(1-q{)}^{1-y} \end{gathered}$$
随机变量y是观测变量，表示一次试验观测的结果是1或0；随机变量z是隐变量，表示未观测到的掷硬币的A的结果；$\theta =(\pi ,p,q)$是模型参数，这一模型是以上数据的生成模型。注意，随机变量y的数据可以观测，随机变量z的数据是不可观测。
将观测的数据表示为$Y=（Y_1,Y_2,...,Y_n{）}^T$，未观测数据表示为$Z=（Z_1,Z_2,...,Z_n{）}^T$，则观测数据的似然函数为

$$\begin{gathered} P(Y|\theta )=\sum _{Z}P(Z|\theta )P(Y|Z,\theta ) \\ =\prod _{j=1}^n[\pi p^{y_i}(1-p{)}^{1-y_i}+(1-\pi )q^{y_i}(1-q{)}^{1-y_i}] \end{gathered}$$
考虑求模型参数$\theta =(\pi ,p,q)$的极大似然估计，即
$$\hat{\theta }=argma{x}_{\theta }logP(Y|\theta )$$
以下通过属于迭代算法的EM算法求解
EM算法首先选取参数的初值，记作${\theta }^0=({\pi }^0,p^0,q^0)$，然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计值，直至收敛为止。第i次迭代参数的估计值为${\theta }^i=({\pi }^i,p^i,q^i)$。EM算法的第i+1次迭代如下：
E步：计算在模型参数${\pi }^i，p^i，q^i$下观测数据$y_j$来自掷硬币B的概率
$${\mu }_j^{i+1}=\frac{{\pi }^i(p^i{)}^{y_i}(1-p^i{)}^{1-y_i}}{{\pi }^i(p^i{)}^{y_i}(1-p^i{)}^{1-y_i}+(1-{\pi }^i)(q^i{)}^{y_i}(1-q^i{)}^{1-y_i}}$$
M步：计算模型参数的新估计值
π i + 1