4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和

Posted 2020-07-27 MirrorGray

我们省选的题…

考虑这个式子的组合意义，对于每一个i，枚举j表示将i个小球放入j个有序集合，且每个集合选择或者不选的方案数。
我们用f[i]表示将i个小球放入任意个有序集合，且每个集合选择或不选的方案数，则枚举最后一个集合的大小i-j，可以得到递推式：
for(int i = 1;i <=n ;i ++)
for(int j = 0;j < i ;j ++)f[i]=(f[i]+f[j]*c[i][j]*2);
c[i][j]是组合数。
意义就是有j个小球任意组合，剩下的组成最后一个集合，且这个集合选或不选的方案数。
将c[i][j]写成fac[i]*inv[j]*inv[i-j]，fac是阶乘，inv是阶乘的逆元，那么显然这是一个卷积的形式。由于是同层转移，所以要分治一下。
做法就呼之欲出了，NTT+分治。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
//by:MirrorGray
using namespace std;
const int N=411111,mod=998244353;
int fac[N],inv[N];
int f[N],wn[N],rev[N];

int po(int a,int b){
    int ret=1;
    while(b){
        if(b&1)ret=(ll)ret*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;b>>=1;
    }
    return ret;
}

struct FFT{
    int n,bit,a[N];
    void set(){
        a[0]=0;
        while(n>0)a[n--]=0;
    }
    void push(int x){
        a[n++]=x;
    }
    int reverse(int x){
        int ret=0;
        for(int i=0;i<bit;i++)if(x&(1<<i))ret|=1<<(bit-i-1);
        return ret;
    }
    void fft(int *f,int o){
        for(int i=0;i< 1<<bit ;i++)if(rev[i]>i)swap(f[rev[i]],f[i]);
        for(int i=1;i<=bit;i++){
            for(int j=0;j< 1<<bit ;j+=1<<i){
                int t=(1<<(i-1)),W=0;
                for(int k=0;k<t;k++){
                    int tmp=f[j+k],a=(ll)wn[W]*f[j+k+t]%mod;
                    f[j+k]=(tmp+a)%mod;
                    f[j+k+t]=(tmp-a+mod)%mod;
                    W+=o*(1<<(bit-i));
                    if(W<0)W+=1<<bit;
                }
            }
        }
        int inv=po(1<<bit,mod-2);
        if(o<0)for(int i=0;i< 1<<bit ;i++)f[i]=(ll)f[i]*inv%mod;
    }
    void operator *=(FFT&b){
        for(bit=0;(1<<bit) <(max(n,b.n)<<1);bit++);
        for(int i=0;i< 1<<bit ;i++){
            if (i&1) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(1<<(bit-1));
            else rev[i]=rev[i>>1]>>1;
        }
        wn[0]=1;int lala=po(3,(mod-1)/(1<<bit));
        for(int i=1;i< 1<<bit ;i++)wn[i]=(ll)wn[i-1]*lala%mod;
        fft(a,1);fft(b.a,1);
        for(int i=0;i< 1<<bit ;i++)a[i]=(ll)a[i]*b.a[i]%mod;
        fft(a,-1);n=b.n=1<<bit;
    }
}a,b;

void solve(int l,int r){
    if(l==r){
        if(l)f[l]=(ll)f[l]*fac[l]%mod*2%mod;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    solve(l,mid);a.set();b.set();
    for(int i=l;i<=mid;i++)a.push((ll)f[i]*inv[i]%mod);
    for(int i=1;i<=r-l;i++)b.push(inv[i]);
    a*=b;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)f[i]=(f[i]+a.a[i-l-1])%mod;
    solve(mid+1,r);
}

int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    fac[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
        inv[i]=po(fac[i],mod-2);
    }
    f[0]=1;solve(0,n);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+f[i])%mod;
    printf("%d\\n",(ans+1)%mod);
    return 0;
}