bzoj4555 [Tjoi2016&Heoi2016]求和

Posted 2020-10-04 wfj_2048

Description

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

S(i, j)表示第二类斯特林数，递推公式为:

S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1。

边界条件为：S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)

你能帮帮他吗?

Input

输入只有一个正整数

Output

 输出f(n)。由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。1 ≤ n ≤ 100000

Sample Input

3

Sample Output

87

 

正解：组合数学+分治$FFT$。

很久以前看到这道题，当时连第二类斯特林数是什么都不知道，于是什么都不会。现在想想，还是不难的。。

我们考虑第二类斯特林数的意义：把$n$个球放入$m$个无区别的盒子里的方案数。

上式有一个$m!$，那就是把无区别的盒子变成有区别的盒子，$2^{m}$表示把盒子染成黑白两色。

那么我们考虑$g[n]$为把$n$个球分成任意个有区别的集合，且每个集合任意染黑白两色的方案数。显然，$Ans=\sum_{i=0}^{n}g(i)$。

根据意义，我们可以推出$g(n)$的递推式：$g(n)=\sum_{i=1}^{n}2*\binom{n}{i}*g(n-i)$。

枚举第$1$个集合有多少元素，且颜色是什么，就可以推出上式了。

然后我们直接用分治$FFT$就可以求出$g$函数了。

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define RG register
 4 #define ll long long
 5 #define rhl (998244353)
 6 #define N (500010)
 7 #define G (3)
 8 
 9 using namespace std;
10 
11 int f[N],g[N],w[N],fac[N],ifac[N],inv[N],rev[N],a[N],b[N],n,ans;
12 
13 il int gi(){
14   RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
15   while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
16   if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
17   while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
18   return q*x;
19 }
20 
21 il int qpow(RG int a,RG int b){
22   RG int ans=1;
23   while (b){
24     if (b&1) ans=1LL*ans*a%rhl;
25     a=1LL*a*a%rhl,b>>=1;
26   }
27   return ans;
28 }
29 
30 il void pre(){
31   fac[0]=ifac[0]=fac[1]=ifac[1]=inv[1]=1,g[1]=2;
32   for (RG int i=2;i<=n;++i){
33     inv[i]=1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
34     fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%rhl;
35     ifac[i]=1LL*ifac[i-1]*inv[i]%rhl;
36     g[i]=ifac[i]<<1; if (g[i]>=rhl) g[i]-=rhl;
37   }
38   for (RG int i=1,v=0;i<(n<<2);i<<=1,++v) w[v]=qpow(G,(rhl-1)/(i<<1));
39   return;
40 }
41 
42 il void NTT(int *a,RG int n,RG int f){
43   for (RG int i=0;i<n;++i) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
44   for (RG int i=1,v=0;i<n;i<<=1,++v){
45     RG int gn=w[v],x,y;
46     for (RG int j=0;j<n;j+=i<<1){
47       RG int g=1;
48       for (RG int k=0;k<i;++k,g=1LL*g*gn%rhl){
49     x=a[j+k],y=1LL*g*a[j+k+i]%rhl;
50     a[j+k]=x+y; if (a[j+k]>=rhl) a[j+k]-=rhl;
51     a[j+k+i]=x-y; if (a[j+k+i]<0) a[j+k+i]+=rhl;
52       }
53     }
54   }
55   if (f==1) return; reverse(a+1,a+n); RG int inv=qpow(n,rhl-2);
56   for (RG int i=0;i<n;++i) a[i]=1LL*a[i]*inv%rhl; return;
57 }
58 
59 il void solve(RG int l,RG int r){
60   if (l==r){ if (!l) f[l]=1; return; }
61   RG int mid=(l+r)>>1,len,lg=0; solve(l,mid);
62   for (len=1;len<=r-l+1;len<<=1) ++lg;
63   for (RG int i=0;i<len;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(lg-1)),a[i]=b[i]=0;
64   for (RG int i=l;i<=mid;++i) a[i-l]=f[i];
65   for (RG int i=0;i<=r-l;++i) b[i]=g[i]; NTT(a,len,1),NTT(b,len,1);
66   for (RG int i=0;i<len;++i) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%rhl; NTT(a,len,-1);
67   for (RG int i=mid+1;i<=r;++i){
68     f[i]+=a[i-l]; if (f[i]>=rhl) f[i]-=rhl;
69   }
70   solve(mid+1,r); return;
71 }
72 
73 int main(){
74 #ifndef ONLINE_JUDGE
75   freopen("sum.in","r",stdin);
76   freopen("sum.out","w",stdout);
77 #endif
78   n=gi(),pre(),solve(0,n);
79   for (RG int i=0;i<=n;++i)
80     ans=(ans+1LL*f[i]*fac[i])%rhl;
81   printf("%d\n",ans); return 0;
82 }