BZOJ4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和

Posted 2020-09-05 Izaya

题意：求给定n，求这个式子%一个NTT模数的值。  $ f(n) = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^i {s(i,j)*{2^j}*j!} } $ 其中S（i，j）为第二类斯特林数。

题解：首先根据第二类斯特林数的定义，我们可以把第二个sigma上界变成n（这里很关键，就是因为这个没看出来导致没推出卷积形式。。）

根据第二类斯特林数的公式，式子可以写成 

$ \begin{array}{l}f(n) = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^n {\sum\limits_{k = 0}^j {{{( - 1)}^k}*\frac{{{{(j - k)}^i}}}{{k!(j - k)!}}} {2^j}*j!} } \\\end{array} $

再把i的sigma丢到后面去 $ \begin{array}{l}f(n) = \sum\limits_{j = 0}^n {\sum\limits_{k = 0}^j {{{( - 1)}^k}*\frac{{\sum\limits_{i = 0}^{\rm{n}} {{{(j - k)}^i}} }}{{k!(j - k)!}}} {2^j}*j!} \\\end{array} $

或者写成这样更显然一点 $ \begin{array}{*{20}{l}}{f(n) = \sum\limits_{j = 0}^n {{2^j}*j!\sum\limits_{k = 0}^j {\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{{\rm{k!}}}}*\frac{{\sum\limits_{i = 0}^{\rm{n}} {{{(j - k)}^i}} }}{{(j - k)!}}} } }\end{array} $

这个式子就是个卷积，直接NTT咯。

这道题有些坑点，首先对于卷积那一部分里我们要弄一个等比数列求和，这里公比为1的时候要注意一下（还记得等比数列求和公式要分类讨论吗？）

然后还有对于第0项的讨论。这些都要注意。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define LL long long
 4 #define mod 998244353
 5 #define N 400005
 6 #define G 3
 7 
 8 inline LL read(){
 9     int x=0,f=1; char a=getchar();
10     while(a<‘0‘ || a>‘9‘) {if(a==‘-‘) f=-1; a=getchar();}
11     while(a>=‘0‘ && a<=‘9‘) x=x*10+a-‘0‘,a=getchar();
12     return x*f;
13 }
14 
15 int n,fac[N],nfac[N],two[N],a[N],b[N],f[N],ans;
16 
17 inline int fpow(int x,int k){
18     int ret=1;
19     while(k){
20         if(k&1) ret=1LL*ret*x%mod;
21         k>>=1; x=1LL*x*x%mod;
22     }
23     return ret;
24 }
25 
26 namespace NTT{
27     int rev[N],wn[30];
28     
29     inline void getwn(){for(int i=1,t=2;i<20;i++,t<<=1) wn[i]=fpow(G,(mod-1)/t);}
30     
31     inline void ntt(int x[],int len,int f){
32         for(int i=1;i<=len;i++) if(i<rev[i]) swap(x[i],x[rev[i]]);
33         for(int t=1,lnow=2;lnow<=len;lnow<<=1,t++){
34             for(int i=0;i<len;i+=lnow){
35                 int w=1;
36                 for(int j=i;j<i+lnow/2;j++){
37                     int t1=x[j],t2=1LL*w*x[j+lnow/2]%mod;
38                     x[j]=(t1+t2)%mod;
39                     x[j+lnow/2]=((t1-t2)%mod+mod)%mod;
40                     w=1LL*w*wn[t]%mod;
41                 }
42             }
43         }
44         if(f==-1){
45             for(int i=len/2;i+1;i--) swap(x[i],x[len-i]);
46             int inv=fpow(len,mod-2);
47             for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=1LL*a[i]*inv%mod;    
48         }
49     }
50     
51     inline void work(int a[],int b[],int l1,int l2){
52         int len,t;
53         for(len=1,t=0;len<=(l1+l2+1);len<<=1,t++); t=1<<(t-1);
54         for(int i=1;i<=len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?t:0);
55         ntt(a,len,1); ntt(b,len,1);
56         for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
57         ntt(a,len,-1);
58     }
59 }
60 
61 int main(){
62     NTT::getwn();
63     n=read(); 
64     fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
65     nfac[n]=fpow(fac[n],mod-2); for(int i=n-1;i+1;i--) nfac[i]=1LL*nfac[i+1]*(i+1)%mod;
66     two[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) two[i]=1LL*two[i-1]*2%mod;
67     for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=1LL*two[i]*fac[i]%mod;
68     for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1LL*(fpow(i,n+1)-1)*fpow(i-1,mod-2)%mod*nfac[i]%mod,a[i]=(a[i]+mod)%mod;
69     a[0]=1; a[1]=n+1; //就是这里
70     for(int i=0;i<=n;i++) b[i]=(1LL*(i&1?-1:1)*nfac[i]%mod+mod)%mod;
71     NTT::work(a,b,n,n);
72     for(int i=0;i<=n;i++) ans=((LL)ans+1LL*f[i]*a[i]%mod)%mod;
73     printf("%d\n",ans+1);  //要把s（0,0）加上
74     return 0;
75 }