线性代数——矩阵乘法（续）

Posted 2021-12-15 matrixmlpforever

之前提到过，矩阵乘法可以视作对向量基底的改变，而基底的选取可能直接导致向量维度的改变。一个2*3矩阵可以把二维向量映射到三维空间，故矩阵可以被视作操控空间的一种手段。

矩阵改变了向量维度

 

为弄懂这种变换的具体性质，我们必须从矩阵本身开始分析。依照之前的思路，矩阵的各列是基底向量，矩阵的右乘就是对列向量的线性组合，同理，矩阵左乘可以看作是对矩阵行向量的线性组合，所以矩阵的列构成了列空间，行构成了行空间。经线性变换后，若有T（x）=0 亦即 Ax=0， 则称 x 在A的零空间N（A)中。

 

我们用秩来表示矩阵空间的维度，虽然m*n矩阵的输入和输出对象是n维向量和m维向量，但列空间和行空间的秩并不一定是n和m，拿列空间举例，若矩阵的基底向量间是线性相关的，那么这组基底张开的空间维度就会下降。列秩是A的线性无关纵列的极大数目，行秩是最大数目的线性无关行

 

对于m*n的矩阵，线性变换T（或A）的作用范围是整个n维空间，而T（x）只能处于零空间N（A)和列空间中，更进一步，我们可以把四维空间分成两个子空间，矩阵行空间和所有与行空间垂直的空间，与行空间垂直的空间被映射为0，故它亦是零空间。剩下的所有包含于行空间内的向量，都会被映射到列空间。

矩阵的四个子空间

 

秩-零度定理

 在线性代数中，秩-零化度定理给出了一个线性变化或一个矩阵的秩(rank)和零化度(nullity) 之间的关系。

dim N（A）+dim rank（A）=n

矩阵零空间的维度和矩阵的秩的和就是向量所在维度n，先假设在维度n中有n个线性独立的向量基底，其中a1，a2.....为所有满足T（c1a1+c2a2+.....)=0的基底，c1，c2.....为随机系数，对剩下的向量基底b1，b2.....来说，T（C1b1）+T（C2b2）+.....=T（C1b1+C2b2+.....)。为证明变换前后的维度大小不变，需证明T（C1b1+C2b2+.....)！=0。

若T（C1b1+C2b2+.....)=0，则 C1b1+C2b2+.....= c1a1+c2a2+.....，因为所有基底向量线性无关，此时所有随机系数都等于0，也就是说除非C1，C2....=0，否则T（C1b1）+T（C2b2）+.....！=0，故T（C1b1),T(C2b2)....线性无关，且两者的线性无关基底数目之和为n，定理得证。通过证明我们也可以看到矩阵的行秩等于列秩。

 

行秩和列秩

行秩等于列秩是矩阵的性质之一，如果设矩阵的列秩为r，行秩为c，将矩阵中r个线性无关向量组成一个m*r的矩阵，那么m*n的矩阵就可以视作成m*r和r*n的两个矩阵的乘积（可以化成这样是因为所有的列向量都可以由这r列组合成），这时从左乘的角度来看，所有的行向量都可以视作对r*n矩阵的线性组合，故c＜=r，对A的转置使用同样的操作，则有r小于等于c，所以r等于c，行秩等于列秩。同时观察到所有矩阵都可以分解成列秩向量和行秩向量的乘积。