[SDOI2016]排列计数

Posted 2021-12-02 mrclr

嘟嘟嘟


从今天开始搞一搞组合计数！
先学一个错排公式。


所谓的错排就是一个排列，满足对于任意的\(i\)，有\(a[i] \neq i\)。
这东西是可以递推求的。
令\(d[i]\)表示长度为\(n\)的排列的错排数。我们假设\(d[n - 1]\)已经求出来，现在考虑第\(n\)个。
首先第一个肯定要和其中任意第\(i\)个\((1 \leqslant i \leqslant n - 1)\)交换，所以这就有\(n - 1\)种可能。但至于第\(i\)个数放哪儿，就得分类讨论。
1.第\(i\)个数就放在第\(n\)位上，那么方案数就是剩下\(n - 2\)个数的错排数\(d[n - 2]\)。
2.第\(i\)个数也可能不在第\(n\)位上。这时候，我们把第\(i\)个数看成新的“第\(n\)个数”，那么这就变成了一个子问题，就是除了原来的那个“第\(n\)个数”的剩下\(n - 1\)个数的错排数，即\(d[n - 1]\)。
综上，得到递推公式\(d[n] = (n - 1) * (d[n - 1] + d[n - 2])\)。


如果觉得我这个讲的太捞，推荐这个大佬的博客：彻底搞懂错排公式


对于这道题，答案就是\(C_{n} ^ {m} * d[n - m]\)啦。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<assert.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
const ll mod = 1e9 + 7;
In ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
In void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
In void MYFILE()
{
#ifndef mrclr
  freopen(".in", "r", stdin);
  freopen(".out", "w", stdout);
#endif
}

int n, m;
ll fac[maxn], inv[maxn], d[maxn];

In ll C(int n, int m) {return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;}
In ll inc(ll a, ll b) {return a + b < mod ? a + b : a + b - mod;}
In ll quickpow(ll a, ll b)
{
  ll ret = 1;
  for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod)
    if(b & 1) ret = ret * a % mod;
  return ret;
}
In void init()
{
  fac[0] = inv[0] = 1;
  for(int i = 1; i < maxn; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
  inv[maxn - 1] = quickpow(fac[maxn - 1], mod - 2);
  for(int i = maxn - 2; i; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
  d[0] = d[2] = 1;
  for(int i = 3; i < maxn; ++i) d[i] = 1LL * (i - 1) * inc(d[i - 1], d[i - 2]) % mod;
}

int main()
{
  //MYFILE();
  init();
  int T = read();
  while(T--)
    {
      n = read(), m = read();
      write(C(n, m) * d[n - m] % mod), enter;
    }
  return 0;
}