玩转matlab之一维 gauss 数值积分公式及matlab源代码

Posted 2021-11-29 sunzhenwei

目录

• 标准区间
• 一般区间
• 数值实验
  • 实验一
  • 实验二
• 总结
• 下节预告
• matlab代码

在数值分析中，尤其是有限元刚度矩阵、质量矩阵等的计算中，必然要求如下定积分:
\[ I=\int_a^b f(x)dx \]学好gauss积分也是学好有限元的重要基础，学过高等数学的都知道，手动积分能把人搞死（微笑脸），而且有些函数还不存在原函数，使用原始的手动算出原函数几乎是不现实的。因此非常有必要学习数值积分，简单讲就是近似计算，只要这个近似值精确度高和稳定性好就行。Gauss积分公式就是这么一个非常好用的工具。本文介绍高斯积分公式的使用以及简单的数值算例。

标准区间

先考虑特殊情况，对于一般区间呢？待会会处理这个问题。
\[ I=\int_{-1}^1 f(x)dx \]
不加证明的直接给出gauss公式如下：详情参阅任何一本数值分析书都有详细的证明过程：
\[ I=\int_{-1}^1 f(x)dx=\Sigma_{i=1}^n A_if(x_i) \]
其中\(A_i\)称作权，\(x_i\)称作 gauss 点。
下面的问题就是如何选择\(n,A_i,x_i\)。

理论表明n个点的Gauss公式代数精度为\(2n-1\)，其选择如下表，（这里仅仅举1-4个点情况，实际使用的时候一般2点或者3点的精度已经完全够了）更多积分点可参考 gauss表.

gauss点个数 \(n\)	gauss 点 \(x_i\)	权重 \(A_i\)	精度
1	\(x_1\)=0	\(A_1\)=2	1
2	\(x_{1,2}=\pm1/\sqrt{3}\)	\(A_1=A_2=1\)	3
3	\(x_1=-\sqrt{3/5}\) \(x_2=0\) \(x_3=\sqrt{3/5}\)	\(A_1=5/9\) \(A_2=8/9\) \(A_3=5/9\)	5
4	\(x_{1}=-\sqrt{\dfrac{15+2\sqrt{30}}{35}}\) \(x_{2}=-\sqrt{\dfrac{15-2\sqrt{30}}{35}}\) \(x_{3}=\sqrt{\dfrac{15-2\sqrt{30}}{35}}\) \(x_{4}=\sqrt{\dfrac{15+2\sqrt{30}}{35}}\)	\(A_1=\frac{90-5\sqrt{30}}{180}\) \(A_2=\frac{90+5\sqrt{30}}{180}\) \(A_3=\frac{90+5\sqrt{30}}{180}\) \(A_4=\frac{90-5\sqrt{30}}{180}\)	7

一般区间

\[ I=\int_a^b f(x)dx \]

根据上面的讨论情况，可知只要做变换(相当于换元积分一样)
\[ 令\quad x=\frac{b+a+(b-a)s}{2},\则\quad dx = \frac{b-a}{2}ds. \]
那么有\(s\in[-1,1]\)，于是即可使用标准区间公式如下：
\[ I = \int_a^bf(x)dx=\int_{-1}^1f(\frac{b+a+(b-a)s}{2})\times\frac{b-a}{2}ds\=\frac{b-a}{2}\Sigma_{i=1}^mA_if(\frac{b+a+(b-a)s_i}{2}) \]
上述公式中的\(A_i\)即为表格中的权重，\(s_i\)即为上表中对应的gauss点，代入公式即可计算积分值。

数值实验

所有实验在MATLAB2018a版本下完成。（建议安装新版本，因为很多函数在新版中已经优化了或者改名字了，比如老版本积分函数quad 新版已经改为integral，只不过目前quad函数还是可以使用的，将来会被删除）。

我们取2个函数做实验，分别计算出其gauss积分值再与matlab自带的函数 integral 计算结果作比较，实验模型是：
\[ 计算 \quad I= \int_1^2 f(x)dx \]

实验一

取函数
\[ f(x)=lnx, \quad 即自然对数函数以e为底. \]
使用matlab函数 integral 计算得到: \(I= 0.386294361119891\)。
使用gauss积分的matlab计算结果为：

高斯点数 m	积分值 \(I_m\)	误差norm(\(I_m-I\))
2	0.386594944116741	3.01E-04
3	0.386300421584011	6.06E-06
4	0.386294496938714	1.36E-07
5	0.386294364348948	3.23E-09

实验二

取函数
\[ f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{1+(1+x)^4}, \]
使用matlab函数 integral 计算得到: \(I= 0.161442165779443\)。
使用gauss积分的matlab计算结果为：

高斯点数 m	积分值 \(I_m\)	误差norm(\(I_m-I\))
2	0.161394581386268	4.76E-05
3	0.161442818737102	6.53E-07
4	0.161442196720137	3.09E-08
5	0.161442166345131	5.66E-10

总结

1. 随着gauss点m的个数增多，精度在逐渐提高，但是要注意的是，gauss点取得多的话，计算量也会增大，只是因为我们计算的问题规模比较小，所以感觉不到而已。
2. 另外可以看到2点3点的gauss公式的精度已经很高了，说明并不需要取太多的点，而在实际计算中，比如有限元的计算中，也仅仅取2点或者3点gauss积分就完全足够。

下节预告

下次介绍gauss积分的二维公式使用以及matlab数值实验，欢迎有问题与我交流，偏微分方程，矩阵计算，数值分析等问题，我的qq 群 315241287

matlab代码

clc;clear;
%   using 2 3 4 5 points compute the integral
%   x \in [a,b]
%
%%  test
a=1;    b = 2;
fun = @(x)  log(x);
% fun = @(x)  2*x./(1+x.^4);
% fun = @(x)  exp(-x.^2/2);
% fun = @(x)  (x.^2+2*x+1)./(1+(1+x).^4);
%%  setup the gauss data
for gauss = 2:5
    if gauss == 2
        s=[-1 1]/sqrt(3);
        wt=[1 1];
        fprintf('***************************  2     points gauss  *******')
    elseif gauss == 3
        s = [-sqrt(3/5) 0 sqrt(3/5)];
        wt = [5 8 5]/9;
        fprintf('***************************    3   points gauss  *******')
    elseif gauss == 4
        fprintf('***************************    4   points gauss  *******')
        s = [   -sqrt((15+2*sqrt(30))/35),  -sqrt((15-2*sqrt(30))/35), ...
            sqrt((15-2*sqrt(30))/35),   sqrt((15+2*sqrt(30))/35)];
        wt = [  (90-5*sqrt(30))/180,    (90+5*sqrt(30))/180,...
            (90+5*sqrt(30))/180,    (90-5*sqrt(30))/180];
    elseif gauss == 5
        fprintf('***************************    5    points gauss *******')
        s(1)=.906179845938664 ; s(2)=.538469310105683;
        s(3)=.0;      s(4)=-s(2) ; s(5)=-s(1);
        wt(1)=.236926885056189 ; wt(2)=.478628670499366;
        wt(3)=.568888888888889 ; wt(4)=wt(2) ; wt(5)=wt(1);
    end
    %%
    %   区间变换到   s \in[-1,1]
    s = (b-a)/2*s+(b+a)/2;
    jac = (b-a)/2;% dx = jac * ds
    f = fun(s);
    f = wt.* f .* jac;
    format long
    exact = integral(fun,a,b);
    comp = sum(f)
    fprintf('the error is norm(comp-exact)=%10.6e\n\n\n',norm(comp-exact))
end
fprintf('\n\n*********  matlab  built-in function ''integral''*********\n')
exact = integral(fun,a,b)
format short