《数值分析》-- 数值积分
Posted 胜天半月子
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文章目录
一、数值积分的必要性
本章主要讨论如右形式的一元函数积分：
I
(
f
)
I_(f)
I(f) =
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\\int_a^bf(x)dx
∫abf(x)dx
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分：
I
(
f
)
I_(f)
I(f) =
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\\int_a^bf(x)dx
∫abf(x)dx =
F
(
b
)
−
F
(
a
)
F(b) - F(a)
F(b)−F(a)
- 实际问题
-
f
(
x
)
f(x)
f(x)的原函数
F
(
x
)
F(x)
F(x)不能用初等函数表示：
- 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示，但表达式相当复杂，计算极其不方便：
-
f
(
x
)
f(x)
f(x)没有解析表达式，只有数表形式：
二、数值积分的基本思想
2.1 定积分的几何意义
2.2 数值积分的理论依据
积分中值定理⭐
2.3 求积公式的构造⭐
I
(
f
)
I_(f)
I(f) =
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\\int_a^bf(x)dx
∫abf(x)dx =
F
(
b
)
−
F
(
a
)
F(b) - F(a)
F(b)−F(a)
若简单选取积分区间[a, b]的端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：
左矩形公式
I
(
f
)
I_(f)
I(f)
≈
\\approx
≈
f
(
a
)
(
b
−
a
)
f(a)(b-a)
f(a)(b−a)
中矩形公式 – 矩形公式
I
(
f
)
I_(f)
I(f)
≈
\\approx
≈
f
(
a
+
b
2
)
(
b
−
a
)
f(\\fraca+b2)(b-a)
f(2a+b)(b−a)
右矩形公式
I
(
f
)
I_(f)
I(f)
≈
\\approx
≈
f
(
b
)
(
b
−
a
)
f(b)(b-a)
f(b)(b−a)
梯形公式⭐ – 两点求积公式
Simpson公式⭐ – 三点求积公式
一般地 ，取区间[a,b] 内 n+1 个点
x
i
x_i
xi,(
i
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
i=0,1,2,...,n
i=0,1,2,...,n)处的高度
f
(
x
i
)
f(x_i)
f(xi),(
i
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
n
i=0,1,2,...,n
i=0,1,2,...,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度
f
(
ξ
)
f(\\xi)
f(ξ)，这类求积方法称为机械求积：
或写成：
数值求积公式及其余项
- 上式中 x k x_k xk称为求积节点； A k A_k Ak称为求积系数，亦称为伴随节点 x k x_k xk的权。
- A k A_k Ak仅仅与节点 x k x_k xk的选取有关，不依赖于被积函数 f ( x ) f(x) f(x)的具体形似。
三、求积公式的代数精度⭐
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念.
-
概念
注意：次数不超过 m m m
梯形公式和矩形公式均只有一次代数精度
-
问题
构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有：
（1）确定求积系数 A k A_k Ak 和求积节点 x k x_k xk；
（2）求积公式精度的衡量标准；
（3）求积公式的误差估计和收敛性分析； -
定义
称求积公式 I ( f ) I_(f) I(f) = ∑ 1 2 A k f ( x ) \\sum_1^2 A_kf(x) ∑12Akf(x)具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
利用代数精度的概念构造求积公式
四、插值型求积公式
4.1 定义
在积分区间[a, b] 上，取 n+1个节点
x
i
x_i
xi,i=0,1,2,…,n作
f
(
x
)
f(x)
f(x)的 n 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式):
则有：
f
(
x
)
=
L
n
(
x
)
+
R
n
(
x
)
f(x) = L_n(x) + R_n(x)
f(x)=Ln(x)+Rn(x)
其中：
R
n
(
x
)
R_n(x)
Rn(x)是插值余项
- 补充
4.2 截断误差与代数精度
- 截断误差
- 代数精度
4.3 求积公式的余项⭐
- 梯形公式余项
- 辛普森公式余项
习题
习题
- 梯形公式的代数精度为什么是1？
-
例题
- 确定下面公式中的参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造的求积公式具有的代数精度.
∫ − h h f ( x ) d x \\int_-h^hf(x)dx ∫−hhf(x)dx ≈ \\approx ≈ A f ( − h ) + B f ( x 1 ) Af(-h) + Bf(x_1) Af(−h)+Bf(x1)
- 确定下面公式中的参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造的求积公式具有的代数精度
∫ 0 1 f ( x ) d x \\int_0^1f(x)dx ∫01f(x)dx ≈ \\approx ≈ A f ( 0 ) + B f ( x 1 ) + C f ( 1 ) Af(0) + Bf(x_1) + Cf(1) 数值分析实验之数值积分法（Python 代码）