区赛第一题讲解+基础算法——桶排序与快速排序

Posted 2021-11-27 rfdragon

　　截止到上篇随笔，我们已经学完了c++中所有的基础语句，这意味着，noip普及组的第一题你已经可以拿满分了。为了纪念这个伟大的时刻，今天要上的这道题，是刚刚考完的海淀区区赛第一题。

题目描述：
已知RFdragon有n个杯子，每个杯子的容积都是无限大，里面都装有1L水。由于RFdragon的杯子实在太多了，他决定扔掉一些杯子，使剩下的杯子不超过k个。RFdragon每次可以把两个装水体积相同的杯子中的水倒在其中一个杯子里，然后扔掉另一个杯子。有时候，RFdragon无论如何也不能使剩下的杯子不超过k个，因此只能去商店里买一些杯子（初始装有1L水）。RFdragon最少需要买多少杯子呢？

输入描述：
两个整数，中间用空格隔开。

输出描述：
一个正整数ans，表示最少需要买ans个杯子。

输入样例：
3 1

输出样例：
1

其他说明：
0<k<n<2^31

　　这道题比较复杂，我当时大概花了半小时做这道题，稍后我会详细讲解。

　　今天我们终于可以进入算法部分。我们来讲讲一种非常实用的算法——排序算法。说到算法，就不得不说一说算法的时间复杂度问题。时间复杂度其实就是运算次数，但计算时间复杂度时可以忽略较小的常数。时间复杂度的符号用O表示，如计算n个数的和的时间复杂度是O(n)。算法的主要作用，就是在保证程序功能完整的情况下，尽可能降低时间复杂度，来使代码运行速度大大提高。

　　排序算法主要有9种，作用都是将一些数按一定规则进行排序。在这里我要和大家说，桶排序是九大排序算法中时间复杂度最低的一个，厉害吧？那么，桶排序是怎样实现的呢？我们来设想一个情景。假设你（为了在考试后找到心理安慰）要对一些同学的成绩从小到大进行排序，其中每个数都不超过100。这时，你可以准备101个桶，把它们编号为0~100，对应0~100之间的所有分数。你拿起了第一份试卷，发现是100分（又看了一眼名字发现不是自己的，心理压力瞬间增大），就把它扔进100号桶里。又拿起一份试卷，发现是99分（又看了一眼名字发现不是自己的，心理压力瞬间增大），就把它扔进99号桶里……你拿起了最后一份试卷，发现是0分（又看了一眼名字发现是自己的，心理压力max），就把它扔进0号桶里。这时，对于从0~100的所有分数你就知道这些分数有多少人了。随后，我们只需要将他们从小到大输出就可以了。你会发现，如果开一个101位的数组，那他的101个变量的下标刚好对应桶的编号。废话不多说，直接上代码：

#include<cstdio>
int n,a,buc[101];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a);
        buc[a]++;
    }
    for(int i=0;i<=100;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            printf("%d ",i);
    return 0;
}

　　假设输入：

5
100 99 78 99 0

　　运行结果为：

0 78 99 99 100

　　是不是非常简单？作为最快的排序算法，桶排序的时间复杂度仅仅是O(n)！但问题是，我们这里保证所有数不超过100，但如果范围扩大到int或long long，那桶排序就无能为力了。因此，我们需要一个新算法，来对更大的数进行排序，这就是快速排序。快速排序非常复杂，简单地说，就是每次找一个基准数，把比基准数小的数放在他左边，把比基准数大的数放在他右边，直到所有数都排序完毕为止。先不详细讲了，直接上代码：

void Quicksort(int a[],int head,int tail)
{
    int jz,l=head,r=tail;
    if(head<tail)
    {
        jz = a[head];
        while(l<r)
        {
            while(l<r&&a[r]>=jz)
                r--;
            if(l<r)
            {
                a[l]=a[r];
                l++;
            }
            while(l<r&&a[l]<jz)
                l++;
            if(l<r)
            {
                a[r]=a[l];
                r--;
            }
        }
        a[l]=jz;
        Quicksort(a,head,l-1);
        Quicksort(a,l+1,tail);
    }
}

　　之所以不细讲，是因为algorithm中的sort就是快速排序，并且功能更加全面。我将在下篇随笔中详细讲解sort的用法。

　　最后，我们来讲讲区赛的这道题。根据题意我们知道，每个杯子中装的水只能是2^0、2^1、2^2……因此，我们用一个bin数组。其中，bin[i]表示装水为2^i的杯子的个数。这里讲一下一个比较超纲的知识——按位与&，它是位运算的一种，如果整数a转成2进制后最后一位是1，那么a&1为true，否则为false。>>=1和除以2是一样的。以下是初始化的代码：

#include<cstdio>
int n,k,bin[32],num;
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=0;n;i++)//将n转成2进制并存在数组bin中 
    {
        if(n&1)//二进制最后一位为1 
        {
            bin[i]++;//数组对应位置+1 
            num++;//目前的杯子数+1 
        }
        n>>=1;//与n/=2等价，但运算速度更快 
    }
}

　　之所以将n转成二进制，是因为二进制中“1”的个数就等于在不买杯子的情况下，合并后的杯子个数，也就是num的值。

　　这时，如果num<=k，程序就结束了，否则的话，我们就需要买杯子。每次我们可以买2^i个杯子，是bin[i]加1。那什么时候我们会买杯子呢？我们从bin的最低位开始，对于每一位bin[i]，如果那一位是0，当然就不需要买杯子；如果是1，那我们就要买2^i个杯子，使bin[i]=0，bin[i+1]++。这样的话，我们有时会遇到bin[i]=2的情况，我们就使bin[i]=0,bin[i+1]++，只有这种情况才能省出杯子。完整代码如下：

#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,k,bin[32],num,ans;//用ans存答案 
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=0;n;i++)//将n转成2进制并存在数组bin中 
    {
        if(n&1)//二进制最后一位为1 
        {
            bin[i]++;//数组对应位置+1 
            num++;//目前的杯子数+1 
        }
        n>>=1;//与n/=2等价，但运算速度更快 
    }
    for(int i=0;num>k;i++)//除非num<=k，否则仍要买杯子 
    {
        if(bin[i]==1)
        {
            bin[i]=0;
            bin[i+1]++;
            ans+=pow(2,i);
        }
        if(bin[i]==2)
        {
            bin[i]=0;
            bin[i+1]++;
            num--;
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
//以下是使用快速幂的版本，你可能看不懂，但他会大大降低时间复杂度
//#include<cstdio>
//int n,k,bin[32],num,ans;
//int qpow(int x,int y)//快速幂 
//{
//    int z=y,base=x,sum=1;
//    while(z)
//    {
//        if(z&1)
//            sum*=base;
//        base*=base;
//        z>>=1;
//    }
//    return sum;
//} 
//int main()
//{
//    scanf("%d %d",&n,&k);
//    for(int i=0;n;i++)
//    {
//        if(n&1)
//        {
//            bin[i]++;
//            num++;
//        }
//        n>>=1;
//    }
//    for(int i=0;num>k;i++)
//    {
//        if(bin[i]==1)
//        {
//            bin[i]=0;
//            bin[i+1]++;
//            ans+=qpow(2,i);
//        }
//        if(bin[i]==2)
//        {
//            bin[i]=0;
//            bin[i+1]++;
//            num--;
//        }
//    }
//    printf("%d",ans);
//    return 0;
//}

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