几何学中的欧拉公式：V-E+F = 2

Posted 2020-07-26 黑大帅之家

  几何学中的欧拉公式：V-E+F = 2，V、E、F表示简单几何体的顶点数、边数、面数。

  证明：

  它的证明有多种，这里呈现一种递归证法。

  对于任意简单几何体(几何体的边界不是曲线)，我们考察这个几何体的每个面，设这个边成一个n边形，我们从某个固定顶点开始连接其其他各个顶点，即将这个n边形从某个顶点进行了三角剖分，我们假想每个三角形是一个面(因为实际上多个三角形共面)，那么能够看到，这个过程中E和F的增量是相同的，因此如果原来的几何体满足V-E+F = 2，则现在这个几何体(视每个三角形为一个面)仍然满足欧拉公式。

  我们随机去掉一个面，则剖分后的几何体应满足V-E+F = 1.

  现在我们考察这个去掉一个面之后被三角形剖分的几何体，对于某个三角形，考察它的三个边(每条边都是被两个三角形共享)，会有如下的三种情况：

  (1)一个边所在的另一个三角形的那个面是空的。

  (2)两个边所在的另一个三角形的那个面是空的。

  (3)三个边所在的另一个三角形的那个面是空的。

  那么下面我们开始一个“掏空过程”，为了分析的方便，我们不在一片没有被“掏空”的区域的内部去“掏空”某个三角形，直到最终剩余一个三角形，即我们避免了第三种情况。

  面临情况(1)，我们掏空这个三角形，发现边数、面数各减1，V-E+F的值将不发生变化。

  面临情况(2)，我们掏空这个三角形，我们发现会出现两种情况，分为顶点数减1和不变的情况(想象一下)，我们非常喜欢前面这种情况，因为这使得边数减2、顶点减1、面数减1，这会使得V-E+F不变，这十分有利于我们继续进行递归的等价转化。

  那么如何应对这种情况呢？还记得我们一开始随机掏空的那个三角形么，容易看到它必然由三个三角形围起来，即分享这个被掏空的三角形的三个边的三角形，我们标号为1、2、3，而这三个三角形中间势必会夹着三个三角形，我们记为4、5、6，我们采取的策略是先掏空1、2、3，然后掏空4、5、6，这样将会保证V-E+F不变，同时我们将1、2、3、4、5、6视为第一层“堡垒”，对于第二层，想一想，是否也是相同的状况(掏空4、5、6又会得到三个情况(1)中的三角形)？这就保证了我们递归的正确性。(这里不需要考虑三角形个数余6的结果，因为这种自上而下的“掏空过程”将会杜绝情况(2)的第二种情况)

  那么让我们来看看递归的最终状态，对于一个三角形，V = 3 、 F  =1  、 E = 3 ，显然有V-E+F = 1，然后回溯到先前的所有状态，可知对于任意的简单几何体，有欧拉公式成立：

  V-E+F = 2.

  证毕。