欧拉函数 欧拉筛法

Posted 2021-11-22 xutianshu

欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。

若p是质数，显然有φ(p)=p-1。

计算公式：φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn)

 

欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。即当且仅当x和y互质时，有phi(x,y)=phi(x)*phi(y)，证明显然。

 

欧拉函数的一些性质：

n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

若p为质数，n=p^k，则φ(n)=p^k-p^(k-1)

n>2时，φ(n)一定为偶数

小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2

n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n

 

 

单个欧拉函数可以在sqrt(n)计算出来

int euler(int n){
    int m=sqrt(n)+1;
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=m;i++)
        if(n%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);//如果n是质数ans=n-1,否则ans不会变 
    return ans;
}

 

欧拉筛法同时求欧拉函数

void euler(int n)
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (isprime[i]==0)
        {
            prime[++num]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++){
            isprime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                                break;            
                        }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}
                

 

欧拉定理:a和p互质时，a^φ(p)≡1 (mod p)，a在模p意义下的逆元为a^(φ(p)-1)

费马小定理:p为质数且a不为p的倍数时，a^(p-1)≡1 (mod p)，a在模p意义下的逆元为a^(p-2)

可以用来处理大指数