欧拉筛转载自用

Posted 2021-05-22 donkey9

前言  https://www.luogu.com.cn/blog/HSH/post-shuo-lun-ou-la-shai-fa

最近学数论，我是真的绝望，欧拉筛法也只能靠背代码勉强凑合凑合，但在我社CSQ大佬的帮助下，我理解到了其中神奇的奥妙

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正题

欧拉筛法是一种可以筛出质数，欧拉函数，约数个数和约数和的筛法 那么我们就对这些问题逐一进行讲解

在这之前，我们先说几个东西：

1、每一个大于等于2的正整数nn，都有n=p_1^{w_1}p_2^{w_2}…p_m^{w_m}n=p1w1​​p2w2​​…pmwm​​（p_1p1​到p_mpm​按升序排列）

2、正整数nn的欧拉函数phi(n)=n(1-\\frac{1}{p_1})(1-\\frac{1}{p_2})…(1-\\frac{1}{p_m})=p_1^{w_1-1}(p_1-1)*p_2^{w_2-1}(p_2-1)*…*p_m^{w_m-1}(p_m-1)phi(n)=n(1−p1​1​)(1−p2​1​)…(1−pm​1​)=p1w1​−1​(p1​−1)∗p2w2​−1​(p2​−1)∗…∗pmwm​−1​(pm​−1)

3、正整数nn的约数个数d(n)=(1+w_1)(1+w_2)…(1+w_m)d(n)=(1+w1​)(1+w2​)…(1+wm​)

4、正整数nn的约数和s(n)=(1+p_1+p_1^2+…+p_1^{w_1})(1+p_2+p_2^2+…+p_2^{w_2})……(1+p_m+p_m^2+…+p_m^{w_m})s(n)=(1+p1​+p12​+…+p1w1​​)(1+p2​+p22​+…+p2w2​​)……(1+pm​+pm2​+…+pmwm​​)

质数

 

代码

inline void sieve(int x) {
    for(reg int i = 2;i <= x;i ++) {
        if(! vis[i])
            prim[++ len] = i;
        for(reg int j = 1;j <= len && i * prim[j] <= x;j ++) {
            vis[i * prim[j]] = 1;
            if(i % prim[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

欧拉函数

 

代码

inline void sieve(int x) {
    phi[1] = 1;
    for(reg int i = 2;i <= x;i ++) {
        if(! vis[i]) {
            prim[++ len] = i;
            phi[i] = i - 1; //因为欧拉函数代表小于这个数的且与这个数互质的数的个数，所以质数的欧拉函数为它本身减1
        }
        for(reg int j = 1;j <= len && i * prim[j] <= x;j ++) {
            vis[i * prim[j]] = 1;
            if(i % prim[j] == 0) {
                phi[i * prim[j]] = phi[i] * prim[j];
                break;
            }
            phi[i * prim[j]] = phi[i] * (prim[j] - 1);
        }
    }
}

约数个数

 

代码

inline void sieve(int x) {
    for(reg int i = 2;i <= x;i ++) {
        if(! vis[i]) {
            prim[++ len] = i;
            d[i] = 2;   //质数的约数只有1和它本身
            sum[i] = 1;
        }
        for(reg int j = 1;j <= len && i * prim[j] <= x;j ++) {
            vis[i * prim[j]] = 1;
            if(i % prim[j] == 0) {
                sum[i * prim[j]] = sum[i] + 1;
                d[i * prim[j]] = d[i] / (sum[i] + 1) * (sum[i] + 2);
                break;
            }
            sum[i * prim[j]] = 1;
            d[i * prim[j]] = d[i] * 2;
        }
    }
}

约数和

 

代码

inline void sieve(int x) {
    for(reg int i = 2;i <= x;i ++) {
        if(! vis[i]) {
            prim[++ len] = i;
            psum[i] = s[i] = i + 1;
        }
        for(reg int j = 1;j <= len && i * prim[j] <= x;j ++) {
            vis[i * prim[j]] = 1;
            if(i % prim[j] == 0) {
                psum[i * prim[j]] = psum[i] * prim[j] + 1;
                s[i * prim[j]] = s[i] / psum[i] * psum[i * prim[j]]
                break;
            }
            psum[i * prim[j]] = prim[j] + 1;
            s[i * prim[j]] = s[i] * psum[i * prim[j]];
        }
    }
}