竞赛图三元环期望个数

Posted 2021-10-28 beretty

题意

给定\(n\)个点的竞赛图,有\(m\)条边的方向是确定的,剩下的边方向不确定,问期望三元环个数

题解

如果一个点\(u\)有两条已经确定的出边\((u,x),(u,y)\)
那么这组边一定无法构成三元环
所以我们记录每个点的已经确定的出度\(d\),出度+入度\(p\)
那么答案就是\(ans=C_{3}^{n}-\sum_{u=1}^{n}{C_{2}^{d_u}}+ d_u\times \frac{n-p_u}{2}+ \frac{C_{2}^{n-p_u}}{4}\)