空间任意点到超平面的距离计算[转载]

Posted 2020-07-25

原文见链接:http://http//bubblexc.com/y2011/310/  稍有修正。

 

直线、平面

在说超平面之前，先说说 Rn 空间中的直线和平面。给定 Rn 空间中的一点 p 和一非负向量 v? ，满足

　　　　　　　　　　　　　　　　i=tv? +p

的点 i 的集合称为 Rn 空间中的一条直线。上式中 t 是一个标量，向量 v?  决定了该直线的方向。如图1所示：

图1：line figure illustration

 

相对的，给定 Rn 空间中的一点 p和两个线性无关的向量 v? ,w? ，满足

　　　　　　　　　　i=tv? +sw? +p

的点 i 的集合称为 Rn 空间中的一个平面。上式中 t,s 均是标量。如图2所示：

图2：plane figure illustration

 

更一般的，给定 Rn 空间中的一点 p和线性无关的向量 v1→,v2→,...,vk→，满足

　　　　　　i=t1v1→+t2v2→+...+tkvk→+p

的点 i 的集合称为 Rn 空间的一个k维仿射子空间（k-dimensional
affine subspace）。因此，一条直线就是一个1维仿射子空间，一个平面就是一个2维仿射子空间。

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直线的另一种表示

假设 R2 空间中的点集 i=(x,y) 满足等式

ax+by+d=0                           (1)

其中 a,b,d 均为标量，并且 a,b 至少有一个不为0。假设 b 不为0，则

y=−abx−db

设 x=t,−∞<t<∞，则点集i可以表示为

i=(x,y)=(t,−abt−db)=t(1,−ab)+(0,−db)

这其实是一条经过点 (0,−db) 方向为 (1,−ab) 的直线L。

进一步地，我们设 n? =(a,b)，则(1)式可以表示为

n? ∗i+d=0                           (2)

设取 p=(p1,p2) 为直线上一点，代入(2)式中的i，可以得到 d=−n? ∗p，则（2）式可以表示为

n? ∗(i−p)=0                           (3)

可以看出，n?  实际是直线L的法向量，并且点集 i=(x,y) 是那些与 p 的差向量与 n?  正交的点。

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超平面

说了这么多，现在来给出超平面的定义：给定 Rn 空间中的一点 p 和一个非零向量 n? 。满足

n? ∗(i−p)=0                           (4)

的点集 i 称为经过点 p 的超平面。向量 n?  为该超平面的法向量。按照这个定义，一条直线是 R2 空间的超平面，一个平面是 R3 空间的超平面，Rn 空间的超平面是 Rn 空间
的一个n-1维仿射子空间。设 n? =(a1,a2,...,an),i=(i1,i2,...,in)，则（4）式可以表示为

a1i1+a2i2+...+anin+d=0                           (5)

其中，d=−n? ∗p

很重要的一点是，利用一个超平面，我们可以将空间的点分为两部分（式（4）的值大于等于0或者小于0）。同时，利用式（4）我们可以方面的计算空间内一点到超平面的距离：设空间中一点 q，q 到超平面的距离即是 q−p 在向量 n?  上的投影，如图（3）所示。q点距离超平面H的距离表示为:

d = |(q−p)∗u? |=|q∗n? −p∗n? | / ||n||  = |q∗n? +d|  /  ||n||   其中u?  为n?  向量的单位向量，||n||为向量的模，代数上展开为L2范式

我们即可以求得 q 到超平面的距离。