如何在三维坐标中确定一条直线，一个平面

Posted 2023-04-27

空间直角坐标系中的平面一般方程为：
Ax+By+Cz+D=0
直观的理解就是任意两个坐标之间都成线性关系（几何上来说，就是平面的任意“切面”都是直线）
另外还经常用到点法式方程：
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
其中（x0，y0，z0）表示平面经过的一个点，而向量（A，B，C）表示平面的法线（就是平面的任一条垂线）的方向。
而直线的一般方程就是两个平面一般方程组成的方程组，直观理解就是两平面的交线。不过这种方程应用比较少。常用的有点向式方程方程：
(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C
其中（x0，y0，z0）表示直线经过的一个点，而向量（A，B，C）表示直线的方向，也就是与直线平行的一个向量）。
另外还有直线的参数方程：（在参数方程的形式上与平面直角坐标系的直线参数方程类似）
x=x0+kt
y=y0+mt
z=z0+nt
其中（x0，y0，z0）表示直线经过的一个点，t为任意实数，而向量（k，m，n）表示直线的方向。 参考技术A 确定一条线：假设有两个点，pt1(x,y,z) pt2(x,y,z)；那么直接连接两点即可得到三维直线
同理，假设有三个三维点，pt1(x,y,z) pt2(x,y,z) pt3（x,y,z）；那么由这三个点就可以得到一个平面。
建议你从最简单的立体几何和向量方面的书籍开始学习。goodluck 参考技术B 　　确定一条直线：过该直线上的任意两点坐标
　　确定一个平面：在该平面上的任意三点（注：三点不能共线）

LQ0081 直线GCD+数学

题目来源：蓝桥杯2021初赛 C++ A组B题

题目描述
在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。
如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。
给定平面上2 × 3 个整点(x, y)|0 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 3, x ∈ Z, y ∈ Z，
即横坐标是0 到1 (包含0 和1) 之间的整数、纵坐标是0 到2 (包含0 和2) 之间的整数的点。
这些点一共确定了11 条不同的直线。
给定平面上20 × 21 个整点(x, y)|0 ≤ x < 20, 0 ≤ y < 21, x ∈ Z, y ∈ Z，
即横坐标是0 到19 (包含0 和19) 之间的整数、纵坐标是0 到20 (包含0 和20) 之间的整数的点。
请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

问题分析
2点<x1,y1>和<x2,y2>的直线方程是(y1-y2) * x +(x2-x1) * y +( x1 * y2 - x2 * y1)=0。
可以令a=y1-y2,b=x2-x1,c=x1 * y2 - x2 * y1，那么方程kax+kby+kc=0与方程ax+by+c=0为同一直线。

AC的C++语言程序如下：

/* LQ0081 直线 */

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>

using namespace std;

const int N = 20, M = 21;
struct Point 
    int x, y;
 p[N * M];

typedef pair<pair<int, int>, int> Line;

int main()

    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++)
        for (int j = 0; j < M; j++)
            p[cnt].x = i, p[cnt++].y = j;

    set<Line> s;
    for (int i = 0; i < cnt; i++)
        for (int j = i + 1; j < cnt; j++) 
            int a = p[i].y - p[j].y;
            int b = p[j].x - p[i].x;
            int c = p[i].x * p[j].y - p[j].x * p[i].y;
            int gcd = __gcd(__gcd(a, b), c);
            s.insert(a / gcd, b / gcd, c / gcd);
        

    cout << s.size() << endl;

    return 0;