小a与黄金街道 （欧拉函数）

Posted 2021-02-06 青山新雨

题意：a， b两个人在长度为n的一维数轴上（从1开始）。a在1，b在n。每个人以1m/s的速度相向而行，则每一时刻存在坐标x，y，当cgd(n, x)==1,gcd(n, y)==1时，t1=k^x,　　t2=k^y.　。然后每个t对应相乘，再相加。

思路：a,b其实的x,y坐标都是相同的。首先，要知道。设x<n,gcd(n,x)==1,则gcd(n, n-x)==1.那么则将题转化为n以内的与n互素的数之和。

　　　那么引出欧拉函数的一条拓展定义：在n以内所有与n互素的所有数之和为n*Φ(n)/2

#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 1e9 + 7;
ll euler(ll x){
    ll ret = x;
    for (ll i = 2; i*i <= x; ++i){
        if (x%i == 0){
            ret = ret / i*(i - 1);
            while (x%i == 0)x /= i;
        }
    }
    if (x > 1)ret = ret / x*(x - 1);
        return ret;
}
ll Pow(ll x, ll n){
    ll ans = 1;
    for (; n; x = x*x%mod, n >>= 1)
    if (n & 1)ans = ans*x%mod;
    return ans;
}
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    ll n, k, a, b;
    cin >> n >> k >> a >> b;
    ll c = (a + b) % mod;
    
    cout << c*Pow(k, n*euler(n)/2%mod) % mod << endl;
}