POJ 2115 C Looooops (扩展欧几里德 + 线性同余方程）

Posted 2020-07-24 icode-xiaohu

　　分析：这个题主要考察的是对线性同余方程的理解，根据题目中给出的a,b,c,d，不难的出这样的式子，(a+k*c) % (1<<d) = b; 题目要求我们在有解的情况下求出最小的解，我们转化一下形式。

　　上式可以用同余方程表示为  a + k*c = (b) % (1<<d)   <-->  k*c = (b-a) % (1<<d)（中间应该是全等号，打不出来…）。这就是我们想要的同余方程，根据我的个人习惯，我把它转化为线性方程的形式。

　　-->   c*x + (1<<d)*y = (b-a); 此时就对应了线性方程中的a*x + b*y = c的形式，当且仅当 c % gcd(a,b) == 0时x有解，得到x的一个解以后，我们另x化为(x%mod + mod) % mod的形式，mod = b/gcd（a，b）；  这个时候的x范围处于（1，mod-1）之间，正是我们要的最小解。

　　注意：注意LL的形式，在（1<<d）的时候，不要忘记改成（1LL << d），否则WA了，我被这里坑了……

　　代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
/**

a + c*k = b % d
-> c*k = (b-a) % d
-> c*x + d*y = k*(b-a);
-> if gcd(c,d) | (b-a);
-> get x = k;
-> else forever.
*/
LL x,y;
LL exgcd(LL a,LL b){
    if(!b){
        x = 1; y = 5;
        return a;
    }
    LL gcd = exgcd(b,a%b);
    LL tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a/b * y;
    return gcd;
}
int main(){
    LL a,b,c,d;
    while(~scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d",&a,&b,&c,&d)){
        if(a+b+c+d == 0) break;
        d = (1LL<<d);
        LL A,B,gcd,C,ans,k,mod;
        A = c; B = d; C = (b-a);
        gcd = exgcd(A,B);
        if(C % gcd != 0){
            puts("FOREVER");
        }
        else {
            k = C / gcd;
            x = k*x;
            mod = B / gcd;
            ans = (x%mod + mod) % mod;
            printf("%I64d\n",ans);
        }
    }
    return 0;

}