bzoj 2819 Nim（BIT，dfs序，LCA）

Posted 2020-06-12

 

2819: Nim

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Description

著名游戏设计师vfleaking，最近迷上了Nim。普通的Nim游戏为：两个人进行游戏，N堆石子，每回合可以取其中某一堆的任意多个，可以取完，但不可以不取。谁不能取谁输。这个游戏是有必胜策略的。于是vfleaking决定写一个玩Nim游戏的平台来坑玩家。
为了设计漂亮一点的初始局面，vfleaking用以下方式来找灵感：拿出很多石子，把它们聚成一堆一堆的，对每一堆编号1,2,3,4,...n,在堆与堆间连边，没有自环与重边，从任意堆到任意堆都只有唯一一条路径可到达。然后他不停地进行如下操作：

1.随机选两个堆v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略，如果有，vfleaking将会考虑将这些石子堆作为初始局面之一，用来坑玩家。
2.把堆v中的石子数变为k。

由于vfleaking太懒了，他懒得自己动手了。请写个程序帮帮他吧。

Input

 第一行一个数n，表示有多少堆石子。
接下来的一行，第i个数表示第i堆里有多少石子。
接下来n-1行，每行两个数v,u，代表v,u间有一条边直接相连。
接下来一个数q，代表操作的个数。
接下来q行，每行开始有一个字符：
如果是Q，那么后面有两个数v,u，询问若在v到u间的路径上的石子堆中玩Nim游戏，是否有必胜策略。
如果是C，那么后面有两个数v,k，代表把堆v中的石子数变为k。

对于100%的数据：
1≤N≤500000, 1≤Q≤500000, 0≤任何时候每堆石子的个数≤32767
其中有30%的数据：
石子堆组成了一条链，这3个点会导致你DFS时爆栈（也许你不用DFS？）。其它的数据DFS目测不会爆。

注意：石子数的范围是0到INT_MAX

Output

对于每个Q，输出一行Yes或No，代表对询问的回答。

Sample Input

【样例输入】
5
1 3 5 2 5
1 5
3 5
2 5
1 4
6
Q 1 2
Q 3 5
C 3 7
Q 1 2
Q 2 4
Q 5 3

Sample Output

Yes
No
Yes
Yes
Yes

HINT

Source

湖北省队互测

 

【思路】

       BIT+dfs序+LCA

       首先知道判断Nim游戏是看异或和，所以问题就是应对树上的异或和查询。

       设f[i]表示i到树根路径上的异或和，那么查询Q(u,v)就等于f[u]^f[v]^val[lca]，因为有C操作所以我们要考虑维护f[]。当修改一个结点u的值时，我们发现f改变的只有以u为根的子树中的结点，基于dfs序，我们用BIT维护区间（求异或和：set->r+1区间外消去），详见代码。

 

【代码】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<vector>
 4 #include<iostream>
 5 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int N = 500000+10;
 9 const int D = 20;
10 
11 int n,q,dfsc,val[N];
12 vector<int> G[N];
13 
14 // BIT
15 int C[N];
16 void set(int x,int v) {
17     while(x<=n)
18         C[x]^=v , x+=x&-x;
19 }
20 int query(int x) {
21     int ans=0;
22     while(x)
23         ans^=C[x] , x-=x&-x;
24     return ans;
25 }
26 // LCA & dfsr
27 int fa[N][D],l[N],r[N],d[N];
28 void dfs(int u) {
29     l[u]=++dfsc;
30     for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
31         int v=G[u][i];
32         if(v!=fa[u][0]) {
33             fa[v][0]=u;
34             d[v]=d[u]+1;
35             for(int i=1;i<D;i++)
36                 fa[v][i]=fa[fa[v][i-1]][i-1];
37             dfs(v);
38         }
39     }
40     r[u]=dfsc;
41 }
42 int LCA(int u,int v) {
43     if(d[v]>d[u]) swap(u,v);
44     for(int i=D-1;i>=0;i--)
45         if(d[fa[u][i]]>=d[v]) u=fa[u][i];
46     if(u==v) return u;
47     for(int i=D-1;i>=0;i--)
48         if(fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
49     return fa[u][0];
50 }
51 void read(int& x) {
52     char c=getchar();
53     while(!isdigit(c)) c=getchar();
54     x=0;
55     while(isdigit(c))
56         x=x*10+c-‘0‘ , c=getchar();
57 }
58 int main() {
59     read(n);
60     FOR(i,1,n) read(val[i]);
61     int u,v;
62     FOR(i,1,n-1) {
63         read(u) , read(v);
64         G[u].push_back(v);
65         G[v].push_back(u);
66     }
67     dfs(d[1]=1);
68     FOR(i,1,n)
69         set(l[i],val[i]) , set(r[i]+1,val[i]);
70     read(q);
71     char op[2];
72     while(q--) {
73         scanf("%s",op);
74         read(u) , read(v);
75         if(op[0]==‘Q‘) {
76             int lc=LCA(u,v);
77             if(query(l[u])^query(l[v])^val[lc])
78                 puts("Yes"); else puts("No");
79         }
80         else {
81             set(l[u],val[u]^v) , set(r[u]+1,val[u]^v);    // ^val 以削去 
82             val[u]=v;
83         }
84     }
85     return 0;
86 }