欧拉道路与欧拉回路

Posted 2021-01-18 Rogn

欧拉道路与欧拉回路

欧拉道路：通过图G中每条边一次且仅一次的道路称作该图的欧拉道路。

欧拉回路：通过图G中每条边一次且仅一次的回路称作该图的欧拉回路。

欧拉图：存在欧拉回路的图称为欧拉图。

欧拉在1736年给出了欧拉道路/回路存在的必要条件，在1873年希尔霍尔策首次给出了刻画欧拉图的充要条件。

定理

(a)无向图G是欧拉图（存在欧拉回路）当且仅当G是连通的且所有顶点都是偶数度

(b)无向图G存在欧拉道路当且仅当G是连通的且奇数度顶点不超过2个

下面证明(a):

1、(必要性)如果是欧拉图，从一个起点出发，经过每个顶点必定是一进一出，再回到起点，这样所有的点都是偶数度

2、(充分性)从任一点出发，构造G的一条简单回路C(想想为什么一定可以)，如果C已经包含所有边，那G就是欧拉图；

若C不是G的回路，则从G中删去C的各边和孤立顶点（如果存在），得到G1，显然G1中个顶点的度还是偶数。原图是连通的，G1和C必然存在公共顶点u。从u出发，在G1中得到回路C1。将C和C1连接起来得到包含边数比原来更多的G的一条简单回路。由于边是有限的，这个过程一定会结束。最后得到包含所有边的回路，就是欧拉回路。

下面证明(b):

在(a)的基础上简单证明

首先，易知，奇数度顶点不超过只能是0个或2个（握手定理保证不可能存在奇数个奇顶点）。奇数度顶点为0就是情况(a)

若有两个奇数度顶点，我们认为地在之间添加一条虚拟的边，这个每个顶点都是偶数度了，所以就存在欧拉回路。而这个欧拉回路一定包含我们虚拟的边，把虚拟的边删去，就得到包含图中所有边的欧拉道路。必要性证明略。

推广到有向图

有向图存在欧拉道路的两个条件：

1、最多只能有两个点的入度不等于出度，而且必须是其中一个点的出度且比入度大1（把它作为起点），另一个的入度比出度大1（把它作为终点）。

2、在忽略边的方向后，图必须是连通的。

参考链接：中国大学mooc 离散数学 刘铎