bzoj3771 Triple

Posted 2020-07-18 AaronPolaris

3771: Triple

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Description

我们讲一个悲伤的故事。

从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。

这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫一看：“是啊是啊！”

水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”

水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。

于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”

水神看着他，哈哈大笑道：

“你看看你现在的样子，真是丑陋！”

之后就消失了。

樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。

于是他准备回家换一把斧头。

回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。

水神拿着的的确是他的斧头。

但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。

换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。

樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。

他想统计他的损失。

樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。

他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。

注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

Input

第一行是整数N，表示有N把斧头。

接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。

Output

若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。

Sample Input

4
4
5
6
7

Sample Output

4 1
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.

HINT

所有数据满足：Ai<=40000

FFT+容斥原理

听说这个叫母函数？

这里要考虑重复问题，所以要用容斥。

多项式A，对于每一项x，如果存在一个物品的价值v满足x=v，则第x项为1，否则为0。

多项式B，对于每一项x，如果存在一个物品的价值v满足x=2v，则第x项为1，否则为0。

多项式C，对于每一项x，如果存在一个物品的价值v满足x=3v，则第x项为1，否则为0。

然后根据容斥，一个物品方案数是A，两个物品方案数是(A^2-B)/2，三个物品方案数是(A^3-3*A*B+2*C)/6。

所以最终答案ans=A+(A^2-B)/2+(A^3-3*A*B+2*C)/6。

多项式的乘法用FFT做，时间复杂度O(n*logn)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 150000
using namespace std;
int n,m,rev[maxn];
const double pi=acos(-1.0);
struct CP
{
	double x,y;
	CP(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;}
	friend CP operator +(CP a,CP b){return CP(a.x+b.x,a.y+b.y);}
	friend CP operator -(CP a,CP b){return CP(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	friend CP operator *(CP a,CP b){return CP(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
	friend CP operator *(CP a,double k){return CP(a.x*k,a.y*k);}
	friend CP operator /(CP a,double k){return CP(a.x/k,a.y/k);}
}a[maxn],b[maxn],c[maxn],ans[maxn];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
void FFT(CP *a,int n,int flag)
{
	F(i,0,n-1) if (rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int m=2;m<=n;m<<=1)
	{
		int mid=m>>1;
		CP wn(cos(2.0*pi*flag/m),sin(2.0*pi*flag/m));
		for(int i=0;i<n;i+=m)
		{
			CP w(1.0,0);
			F(j,i,i+mid-1)
			{
				CP u=a[j],v=a[j+mid]*w;
				a[j]=u+v;a[j+mid]=u-v;
				w=w*wn;
			}
		}
	}
	if (flag==-1) F(i,0,n-1) a[i].x/=n;
}
int main()
{
	m=131072;
	F(i,1,m-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+((i&1)<<16);
	n=read();
	F(i,1,n){int x=read();a[x]=CP(1.0,0);b[x*2]=CP(1.0,0);c[x*3]=CP(1.0,0);}
	FFT(a,m,1);FFT(b,m,1);FFT(c,m,1);
	F(i,0,m-1) ans[i]=a[i]+(a[i]*a[i]-b[i])/2.0+(a[i]*a[i]*a[i]-a[i]*b[i]*3.0+c[i]*2.0)/6.0;//重点理解这个式子 
	FFT(ans,m,-1);
	F(i,0,m-1)
	{
		int x=round(ans[i].x);
		if (x>0) printf("%d %d\n",i,x);
	}
	return 0;
}