BZOJ3771Triple 生成函数+FFT

Posted 2020-10-03 CQzhangyu

【BZOJ3771】Triple

Description

我们讲一个悲伤的故事。

从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。

这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫一看：“是啊是啊！”

水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”

水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：

“这把斧头，是不是你的？”

樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。

于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”

水神看着他，哈哈大笑道：

“你看看你现在的样子，真是丑陋！”

之后就消失了。

樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。

于是他准备回家换一把斧头。

回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。

水神拿着的的确是他的斧头。

但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。

换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。

樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。

他想统计他的损失。

樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。

他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。

注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

Input

第一行是整数N，表示有N把斧头。

接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。

Output

若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。

Sample Input

4
4
5
6
7

Sample Output

4 1
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.

HINT

所有数据满足：Ai<=40000

题解：当年以为这就是个桶，后来得知这玩意叫生成函数。

设所有斧头的生成函数为x，那么我们将x自乘1,2,3次，得到x,y,z，那么考虑每种情况被计算的次数。

x——a：1次
y——aa：1次，ab：2次
z——aaa：1次，aab：3次，abc：6次

那就把aa，aaa也求出来，用aa*b-aaa得到aab，就全统计出来了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#define pi acos(-1.0)
using namespace std;
typedef long long ll;
struct cp
{
	double x,y;
	cp (double a,double b){x=a,y=b;}
	cp (){}
	cp operator + (cp a){return cp(x+a.x,y+a.y);}
	cp operator - (cp a){return cp(x-a.x,y-a.y);}
	cp operator * (cp a){return cp(x*a.x-y*a.y,x*a.y+y*a.x);}
	cp operator * (double a){return cp(x*a,y*a);}
}n1[1<<19],n2[1<<19],n3[1<<19];
int n,m,top,len;
int ans[1<<19];
ll s[1<<19];
void FFT(cp *a,int f)
{
	int i,j,k,h;
	cp t;
	for(i=k=0;i<len;i++)
	{
		if(i>k)	swap(a[i],a[k]);
		for(j=(len>>1);(k^=j)<j;j>>=1);
	}
	for(h=2;h<=len;h<<=1)
	{
		cp wn(cos(f*2*pi/h),sin(f*2*pi/h));
		for(j=0;j<len;j+=h)
		{
			cp w(1,0);
			for(k=j;k<j+h/2;k++)	t=w*a[k+h/2],a[k+h/2]=a[k]-t,a[k]=a[k]+t,w=w*wn;
		}
	}
}
int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	n=rd();
	int i,a;
	for(i=1;i<=n;i++)	a=rd(),n1[a].x+=1,s[a]++,n2[a<<1].x+=1,n3[a*3].x+=1,m=max(m,a);
	for(len=1;len<=m*3;len<<=1);
	FFT(n1,1),FFT(n2,1),FFT(n3,1);
	for(i=0;i<len;i++)
	{
		cp x=n1[i],y=n2[i],z=n3[i];
		n2[i]=((x*x)-y)*(1.0/2),n3[i]=((x*x*x)-(x*y*3.0)+(z*2.0))*(1.0/6);
	}
	FFT(n2,-1),FFT(n3,-1);
	for(i=0;i<len;i++)	s[i]+=(ll)(n2[i].x/len+0.1)+(ll)(n3[i].x/len+0.1);
	for(i=0;i<len;i++)	if(s[i])	ans[++top]=i;
	for(i=1;i<=top;i++)	printf("%d %lld\n",ans[i],s[ans[i]]);
	return 0;
}