费马数学习总结

Posted 2020-07-17 GFY

费马数，就是形如：2^(2^n)+1的数字，据费马说，f(1，2,3,4,5)都是质数，然而欧拉算出f(5)可以有1和自己以外的因子，也就是f(5)是合数，当年费马猜想：费马数全是质数。然而随着科技发展，用计算机可以运算得到:f(5)以及以后的费马数，都是合数，甚至有人猜想:5和以后的费马数全是合数。

然而早已有人证明:费马数的因数必然是2n+2*k+1形式！

费马数的性质：

(1)费马数与几何

定理：一个正规n边行可用尺规来画出当且仅当n是一个2的非负次幂与非负个不同费马素数的乘积

(不知道有什么用233)

(2)任意两个不同的费马数互质

证明:

设m>n,

  ，而  

= 

=  

=……

= 

，所以 整除  。

根据辗转相除的原理，  ，所以任意两个费马数都互质。

(3)

费马数满足以下的递回关系：

其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i < j 且 Fi 和 Fj 有一个公因子 a > 1。那么 a 能把

  

和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。

(4)其他奇奇怪怪的性质

• Fn的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是

 

(参见高斯函数).

• 除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。
• 当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。
• 除了F0和F1，费马数的最后一位是7。
• 所有费马数（OEIS中的数列A051158）的倒数之和是无理数。

(233其实这理论好像没碰到几题)