Miller-rabin判素数

Posted 2020-09-30 古时候的瘾君子

用Miller-rabin判素数之前，先要知道一个叫费马小定理的东西。

费马小定理：如果p是质数，那么任意和p互质的数的p-1次方对p取模都等于一。

即：任意gcd（a，p）==1，那么a^(p-1)≡1（mod p）

既然我们用费马小定理又得到了一个新的质数的性质，那么我们就可以用这个性质来判定素数。

为了判定p是不是质数，我们随机检验一些a检验a^(p-1)mod p是否为1

但是这样判定一个素数并不是百分百正确的，有一些数不是素数，但依据费马小定理还是会判定成素数。

例如：p=561=3*11*17，无论如何取a，都满足费马小定理的素数性质。

于是我们就需要利用二次探测的思想：
p是质数，则x^2≡1（mod p）仅有两个解，x1=1，x2=p-1（很显然，（p-1）^2=p^2-2p+1），我们这样计算a^（p-1）：

　　1.我们令p-1=2^s * t（因为p是质数，p-1一定是偶数，偶数一定可以表示成2^s * t）

　　2.然后我们来分解2^s * t，设x0=a^t,xi=x(i-1)^2,最后我们可以得到xs=a^(p-1)（等比数列）

　　3.如果|xi|！=1,且x(i+1)=1,那么p显然不是质数（因为该方程只有两个解，如果）。

上面介绍了算法原理，下面是算法流程：

　　1.按照上面的方法计算a^（p-1）（如果p不是质数，那么此时有可能直接返回）

　　2.检查a^(p-1)≡1(mod p)

　　3.当a是2~p-1的随机数时，如果p返回是合数，那他就是一定合数，如果返回是质数，则有一半的机会是质数